欧几里德与扩展算法-jumping frog博客园.pdfVIP

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欧欧几几里德与扩展欧几里德算法与扩展里德算

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则(a,b)=(b,r)，即(a,b)=(b,a%b)。

第一种证明

a可以表示成a=kb+r，则r=amodb

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a,d|b，而r=a-kb，因此d|r

因此d是(b,amodb)的公约数

假设d是(b,amodb)的公约数，则

d|b,d|r，但是a=kb+r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,amodb)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

第二种证明

要证欧几里德算法成立，即证:(a,b)=(b,r),其中是取最大公约数的意思，r=amodb

下面证（a，b）=（b，r）

设c是a，b的最大公约数，即c=（a，b），则有a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数

由r=amodb可知，r=a-qb其中，q是正整数，

则r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c

b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd,m-qn=yd其中x,y,d都是正整数，且d1

则a=mc=(qx+y)dc,b=xdc,这时a,b的最大公约数变成dc，与前提，

所以n，m-qn一定互质）

则（b,r）=c=（a,b）

得证。

算法的实现

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下

ViewCode

1int(inta,intb)

2{

3if(b==0)

4returna;

5return

6(b,a%b);

7}

代码可优化如下

ViewCode

1int(inta,intb)

2{

3returnb?(b,a%b):a;

4}

当然你也可以用迭代形式

ViewCode

1int(inta,intb)

2{

3while(b!=0)

4{

5intr=b;

1/8

6b=a%b;

7a=r;

8}

9returna;

10}

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为0的非负整数a，b，（a，b）表示a，b的最大公约数，必然存在整数对x，y，使得

（a，b）=ax+by。

证明：设ab。

1，显然当b=0，（a，b）=a。此时x=1，y=0；

2，ab!=0时

设ax1+by1=(a,b);

bx2+(amodb)y2=(b,amodb);

根据朴素的欧几里德原理有(a,b)=(b,amodb);

则:ax1+by1=bx2+(amodb)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等