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2023新高考数学复习讲义
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PAGE65
第36讲导数中的同构问题
题型一:不等式同构
例1.已知,且,,,则(???????)
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
设函数,,当,此时单调递增,当,此时单调递减,由题,,,得,因为,所以,则,且,所以.
故选:A.
例2.设,,,则(???????)
A.B.
C.D.
【答案】A
【详解】
因为,所以.
设,
则,
令,则.
当时,,,,
所以,所以当时,,
所以在上单调递增,
从而,
因此,即.
综上可得.
故选:A
例3.(2022·四川·广安二中模拟预测(理))已知,且,其中e为自然对数的底数,则下列选项中一定成立的是(???????)
A.B.
C.D.
【答案】B
【详解】
构造,,则恒成立,
则,
当时,,,
当时,,
所以在单调递增,在单调递减,
因为,所以,,
又,所以,D错误,
因为,所以,,
所以,所以,A错误,B正确.
令,则,
当时,恒成立,
所以在上单调递增,
当时,,即,
因为,
所以
因为,
所以,
因为在在单调递减,
所以,即
因为在上单调递减,
所以,C错误
故选:B
题型二:同构变形
例4.(2022·全国·高三专题练习)对下列不等式或方程进行同构变形,并写出相应的同构函数.
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8).
【答案】(1),.
(2),.
(3),.
(4),.
(5),.
(6),.
(7),.
(8),.
题型三:零点同构
例5.已知函数有两个零点,则a的最小整数值为(???????)
A.0B.1 C.2D.3
【答案】C
【解析】
【详解】
,
设,,即函数在上单调递增,易得,于是问题等价于函数在R上有两个零点,,
若,则,函数在R上单调递增,至多有1个零点,不合题意,舍去;
若,则时,,单调递减,时,,单调递增.
因为函数在R上有两个零点,所以,
而,
限定,记,,即在上单调递增,于是,则时,,此时,因为,所以,于是时,.
综上:当时,有两个交点,a的最小整数值为2.
故选:C.
例6.在数学中,我们把仅有变量不同,而结构、形式相同的两个式子称为同构式,相应的方程称为同构方程,相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程(,,)可化为同构方程,则________,________.
【答案】????3????8
【详解】
对两边取自然对数得???①.对两边取自然对数得,即???②.
因为方程①,②为两个同构方程,所以,解得.
设(),则,
所以函数在上单调递增,所以方程的解只有一个,所以,
所以,故.
故答案为:3;8.
题型四:利用同构解决不等式恒成立问题
例9.若对任意,恒有,则实数的最小值为(???????)
A.B. C.D.
【答案】D
【详解】
由题意可知,不等式变形为.
设,
则
.
当时,即在上单调递减.
当时,即在上单调递增.
则在上有且只有一个极值点,该极值点就是的最小值点.
所以,即在上单调递增.
若使得对任意,恒有成立.
则需对任意,恒有成立.
即对任意,恒有成立,则在恒成立.
设则.
当时,,函数在上单调递增
当时,,函数在上单调递减
则在上有且只有一个极值点,该极值点就是的最大值点.
所以,即,则实数的最小值为.故选:D
例10.若关于x的不等式恒成立,则a的取值范围是______.
【答案】
【详解】
整理为:,其中,故,令,则,,注意到:,其中,当时,令,解得:,令,解得:,则,满足题意;
当时,令得:,令得:,则在上单调递增,在上单调递减,且,,所以当时,,不合题意,舍去;
故不满足题意,舍去;
当时,令得:,令得:,所以在上单调递减,在上单调递增,且,,所以当时,,不合题意,舍去;
当时,,故不合题意,舍去.
综上:a的取值范围是.
故答案为:
【点睛】
求解参数的取值范围,对于不容易参变分离的函数,处理方法,往往要结合函数解析式的特征,构造新函数,而在构造新函数的过程中,同构是针对于同时出现指数函数与对数函数的一种有效方法,要能灵活应用.
例11.已知,对任意的,不等式恒成立,则的最小值为___________.
【答案】
【详解】∵对于任意,,不等式恒成立
∴对于任意,,即恒成立
当时,;
当,,
设,则,所以在上单调递增,
由,知,即,即
设,,求导
令,得
当时,,单调递减;当时,,单调递增;
∴在处取得极大值,且为最大值,
所以时,不等式恒成立
故答案为:
题型五:利用同构求最值
例12.(
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