高考科学复习创新方案-数学资料-第10讲-抛物线(二).doc

高考科学复习创新方案-数学资料-第10讲-抛物线(二)

高考科学复习创新方案-数学资料-第10讲-抛物线(二)

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高考科学复习创新方案-数学资料-第10讲-抛物线(二)

第10讲抛物线(二)

直线与抛物线的位置关系

已知直线l：y＝kx＋m,抛物线y2＝2px(p0),联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px,,y＝kx＋m,))得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

(1)直线l与抛物线相eq\x(\s\up1(01))切：k≠0,Δ＝0;

(2)直线l与抛物线相eq\x(\s\up1(02))交：k≠0,Δ0或k＝0;

(3)直线l与抛物线相eq\x(\s\up1(03))离：k≠0,Δ0.

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则：

(1)x1x2＝eq\f(p2,4),y1y2＝－p2;

(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα),|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα),弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角);

(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)为定值eq\f(2,p);

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切;

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上;

(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

1．(2022·广州天河区高三综合测试)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点,这样的直线有()

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

答案C

解析设过点(0,1),斜率为k的直线方程为y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,,y2＝4x))得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)

当k＝0时,(*)式只有一个根;当k≠0时,Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16,由Δ＝0,即－16k＋16＝0得k＝1.所以k＝0或k＝1时,直线与抛物线只有一个公共点,又直线x＝0和抛物线只有一个公共点,故选C.

2．(2021·济南模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|＝8,则弦AB的中点到y轴的距离为()

A．2 B．3

C．4 D．6

答案B

解析因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2,所以p＝2,抛物线方程为y2＝4x.过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义得,焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p,所以8＝x1＋x2＋2,则x1＋x2＝6,所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(6,2)＝3.故选B.

3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A,B两点(A在第一象限),交抛物线C的准线于点D,若eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→)),|AF|＝4,则下列结论正确的是()

A．p＝2

B．直线l的倾斜角为eq\f(π,3)

C．|BF|＝2

D．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切

答案ABD

解析过A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1.由抛物线定义知|AA1|＝|AF|＝eq\f(1,2)|AD|,所以在Rt△A1AD中,知∠A1AD＝eq\f(π,3),故直线l的倾斜角θ为eq\f(π,3),|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)＝2p＝4,p＝2,|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)＝eq\f(4,3),因此A,B正确,C错误;过AB的中点E作准线的垂线EE1(E1为垂足),由梯形的中位线可知|EE1|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)＝eq\f(|AB|,2),所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,所以D正确．故选ABD.

4．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点,则k的值为________.

答案0或1

解析直线y＝kx＋2中,当k＝0时,y＝2,此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点;当k≠0时,把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x,得(kx＋2)2＝8x,整理,得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0,∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点,∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0,解得k