高数下册打包定积分.pptx

1无穷限的反常积分无界函数的反常积分小结思考题作业第四节反常积分(广义积分)improperintegral第五章定积分

2常义积分积分区间有限被积函数有界积分区间无限被积函数无界常义积分的极限反常积分反常积分推广

3反常积分一、无穷限的反常积分一个固定的点电荷+q产生的电场,当单位正电荷从r=a沿径向移到r=b处时,(k是常数).单位正电荷从r=a移到无穷远时,对场内其它电荷有作用力,由库伦定律知,距q为r单位的正电荷受到的电场力,其方向与径向一致指向外,大小为电场力所作的功称为该电场在这两点处的电位差.电场力所需作的功称为该电场在点a处的电位.

4反常积分例试求a、b两点的电位差及a点的电位.解a、b两点的电位差令即得a点处的电位这里计算了一个类似的实例还有:无界域的面积,问题,上限无限增大的定积分的极限.第二宇宙速度电容器放电问题等等.

5定义1即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常积分如果极限存在,反常积分则称这个极限值反常积分,(1)收敛;发散.

6即当极限存在时,称反常积分当极限不存在时,称反常积分存在,如果极限反常积分则称这个极限值反常积分,(2)收敛;发散.

7如果反常积分和都收敛,则称上述两反常积分之和为函数称反常积分反常积分上的反常积分,即收敛;记作发散.否则称反常积分(3)

8注为了方便起见,规定:对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式,这时反常积分的收敛与发散取决于和是否存在.反常积分

9例计算反常积分解反常积分反常积分的积分值的几何意义

10例计算反常积分解反常积分

11例解考虑由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间,由定义可知因而反常积分?只有上述两个极限都存在时,才能使反常但是上述两个极限都不存在.故知积分收敛.

12为对称区间.其错误的原因在于认定不成立的.注对于反常积分来说,对称区间上的性质反常积分各不相关.

13证反常积分例证明反常积分收敛,发散.

14证因此收敛,其值为发散.{反常积分例证明反常积分*

15并求其值.令反常积分例证明解

16反常积分

17反常积分练习1.计算2002年考研数学(一)填空3分解2.位于曲线下方,x轴上方的无界图形的面积是解2002年考研数学(二)填空3分

18定义2即当极限不存在时,称反常积分则称此极限为仍然记为如极限存在,也称反常积分函数反常积分二、无界函数的反常积分(瑕积分)反常积分,收敛;发散.瑕点(1)

19否则,则定义如极限存在,反常积分(2)瑕点,称反常积分发散.

20若等号右边两个反常积分如果则定义否则,就称反常积分发散.都收敛,反常积分(3)瑕点,反常积分注如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分.通常用瑕点将区间分开,

21例计算反常积分解反常积分为瑕点,这个反常积分值的直线x=0与x=a位于曲线x轴之上,之间的图形面积.几何意义之下,

22注为了方便起见,?反常积分由N—L公式,则反常积分规定:?

23例计算反常积分解故原反常积分发散.反常积分

24证{反常积分收敛,其值为反常积分发散.反常积分例证明反常积分*

25例求解反常积分发散.也发散.注错误的做法:

26例解注此反常积分经变量代换化成了定积分.反常积分

27例下面是练习发散无穷区间上无界函数的反常积分发散,发散.发散.反常积分

28例解试用分段函数表示反常积分

29试用分段函数表示反常积分

30无界函数的反常积分(瑕积分)无穷限的反常积分注意反常积分三、小结1.不要与常义积分混淆;2.不能忽略内部的瑕点.

31反常积分思考题1(选择题)解答恒等于常数.

32思考题2积分的瑕点是哪几点？解答积分不是瑕点,的瑕点是可能的瑕点是又反常积分

33作业习题5-4(256页)1.(2)(5)(7)(8)(9)2.3.反常积分