七年级数学下册讲义（北师大版）第四章第05讲 模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)（解析版）.docx

第05讲模型构建专题：全等三角形中的常见八种模型(8类热点题型讲练)

目录

TOC\o1-3\h\u【模型一平移型模型】 1

【模型二轴对称型模型】 3

【模型三四边形中构造全等三角形解题】 5

【模型四一线三等角模型】 9

【模型五三垂直模型】 14

【模型六旋转型模型】 18

【模型七倍长中线模型】 24

【模型八截长补短模型】 30

【模型一平移型模型】

例题：（2023上·福建福州·八年级统考期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．

求证：．

??

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出，注意全等三角形的对应边相等；根据可知，又根据∠A=∠D，BE=CF可以判定，即可求证．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴在和中，

∴，

∴．

【变式训练】

1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．

??

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理证明．

【详解】，

，

在和中，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．

2．（2024上·新疆和田·八年级统考期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，．

(1)求证：；

(2)若，，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．

（1）先证明，然后根据证明即可；

（2）根据全等三角形的性质得出，进而根据三角形内角和定理即可求解．

【详解】（1）证明：，，且，

，

在和中，

，

，

（2）解：由（1）可知，，

，

，，

，

．

【模型二轴对称型模型】

例题：（2024上·云南昆明·八年级统考期末）线段、相交于点，，，求证：．

【答案】证明见解析．

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据可证，根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】证明：在和中

，

，

【变式训练】

1．（2023·湖南益阳·统考一模）如图，点D在上，点E在上，，．求证：．

??

【答案】见解析

【分析】根据，推出，即可根据进行求证．

【详解】证明：，

．

在和中，

，

．

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法有．

2．（2024上·山西阳泉·八年级统考期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．

【答案】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可得到．

【详解】解：∵，

，

即．

在与中，

．

．

∵，

．

【模型三四边形中构造全等三角形解题】

例题：如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．

(1)若，，求四边形AECF的面积；

(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】(1)48

(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；

（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

(1)

解：连接AC，如图，

在△ACE和△ACF中

∴△ACE≌△ACF（SSS）．

∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．

∵CB⊥AB，CD⊥AD，

∴CD＝CB＝6．

∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．

∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．

(2)

∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

证明：∵△ACE≌△ACF，

∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．

∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，

∴∠DFC＝∠BEC．

∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，

∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC

＝∠DAB＋∠ECF．

∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

【变式训练】

1．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB