新高考数学一轮复习学案 第1章 §1.6　基本不等式（含解析）.doc

§1.6基本不等式

考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．利用基本不等式求最值

已知x0，y0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．

微思考

1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？

提示不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．

2．函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2吗？

提示不是．因为函数y＝x＋eq\f(1,x)的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋eq\f(1,x)无最小值．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的．(×)

(2)(a＋b)2≥4ab.(√)

(3)“x0且y0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要条件．(×)

(4)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.(×)

题组二教材改编

2．已知x2，则x＋eq\f(1,x－2)的最小值是()

A．1B．2C．2eq\r(2)D．4

答案D

解析∵x2，

∴x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(?x－2?\f(1,x－2))＋2＝4，

当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立．

3．已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，若方程f(x)＝a有实数根，则实数a的取值范围为()

A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

答案D

解析f(x)＝x＋eq\f(1,x)，

当x0时，f(x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(1)＝2，

当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时，等号成立．

当x0时，f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?－x?＋\f(1,?－x?)))≤－2eq\r(?－x?·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－x))))＝－2，

当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时，等号成立．

综上，f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

故a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

4．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.

答案25

解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，

则另一边为eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)m，其中0x10，

∴y＝x(10－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋?10－x?,2)))2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，

所以ymax＝25，

即矩形场地的最大面积是25m2.

题组三易错自纠

5．函数y＝eq\f(x,x2＋1)(x0)的最大值为________．

答案eq\f(1,2)

解析y＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))≤eq\f(1,2).

当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时，等号成立．

6．函数y＝eq\f(x2,x－1)(x1)的最小值为________．