高中数学立体几何知识点总结.doc

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高二理科数学立体几何专题（一）

班别：学号：姓名：

平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

空间线、面的位置关系

共面平行—没有公共点

(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行，又不相交)

直线在平面内—有无数个公共点

(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点

(直线在平面外)相交—有且只有一公共点

(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)

平行—没有公共点

线面平行与垂直的判定

(1)两直线平行的判定

①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.

②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.

③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b

=5\*GB3⑤坐标法：

(2)两直线垂直的判定

=1\*GB3①.定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

=2\*GB3②.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

=3\*GB3③.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.=4\*GB3④.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,

则a⊥b.

=5\*GB3⑤坐标法：

(3)直线与平面平行的判定

①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若

aα,bα，a∥b,则a∥α.

③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若

mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α..

(5)两平面平行的判定

①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.

③垂直于同一直线的两平面平行.即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.

④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

=5\*GB3⑤坐标法：证明两平面法向量共线

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α-a-β=90°α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.

=3\*GB3③坐标法：证明两个法向量垂直

存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；

(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；

(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；

(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；

(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；

(7)过两