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平面向量在三角形中的应用郑州一中数学组袁全超1
【考纲要求】1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.2、掌握向量的加法和减法.3、掌握实数与向量的积,理解两个平面向量共线的充要条件.4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标概念,掌握平面向量的坐标运算.平面向量在三角形中的应用2
【教材重点、难点】重点:向量的加(减)法与共线向量的充要条件难点:平面向量基本定理的灵活应用课本基础知识的延伸:线段中点的向量表达式:若P为线段AB的中点,则2.若点P,A,B共线,则4.若不共线,,则3.若G为△ABC的重心,则反之亦然.3
例1.(09宁夏、海南)已知O,N,P在所在平面内,且,则点O,N,P依次是的()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心C解:由知,O为的外心;同理∴P为的内心.知,N为的重心;由典型例题4
1.1在同一平面上,有△ABC及一点满足关系式,则A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心是△ABC的()变式训练:1.2已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心1.3已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足,A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()5
1.1在同一平面上,有△ABC及一点满足关系式,则A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心是△ABC的()解:由即:化简有:同理有:为的垂心.B变式训练:6
1.2已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心解:由已知所以动点P的轨迹一定通过△ABC的内心.A变式训练:ABCDEFP7
1.3已知O是△ABC所在平面内的一定点,动点P满足,A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心,则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )解:由正弦定理知:又所以故点P轨迹通过△ABC的重心.D变式训练:ABCDP8
的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数 .解法一:特例法.为一个直角三角形,则O点斜边的中点,设顶点,这时有H点为直角,高考真题再现解法二:连BO延长交⊙O于D,连AD、CD.CH∥DA同理,AH∥DC,又OHABDC∴四边形AHCD为平行四边形.CAHBO9
ABCOGH三角形的欧拉线:外心O、重心G、垂心H三点共线且OG=GH10
ACBDPENM解法一:利用平面向量基本定理例2.设P为△ABC内一点,且满足,则 .典型例题11
法二:构造三角形的重心.取点D使得则点P为△ABD的重心,连接BD,·P·DABC例2.设P为△ABC内一点,且满足,则 .12
变式训练:2.1已知P为△ABC内一点,且满足,则面积之比为 .2.2设O为△ABC内一点,记,则 .13
变式训练:2.1已知P为△ABC内一点,且满足,则面积之比为 .解法一:利用平面向量基本定理得由14
2.1已知P为△ABC内一点,且满足,则面积之比为 .法二:构造三角形及重心.则P为的重心.令15
解法一:特例法.取O为△ABC的重心,则2.2设O为△ABC内一点,记,则 .变式训练:16
CBAODE2.2设O为△ABC内一点,记,则 .由题知法二:过O分别作AC、AB的平行线OD、OE,交AB于D,交AC于E,则17
引申:设O为△ABC内一点,记=m,则分别为.18
2、已知A、B、C是平面上不共线的三点,O为平面ABC内A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心任一点,动点P满足等式则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )3、已知G为△ABC的重心,令点G分别交AB,AC于P,Q两点,且,则,若PQ过 .4、△ABC外接圆的圆心为O,且,则角 .1、△ABC中三边长分别为O为△ABC所在平面内一点,若A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心,则O为△ABC的( )课后作业19
谢谢指导20
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