初中数学中的数论初步.pdfVIP

第1章整除

在日常生活中，我们会过到许多有趣而又耐人寻味的问题：

某同学到文具店买了七个一角二分钱的本子、五个六分钱的铅笔和三个活页

夹子。售货员收了他三元钱，并找还三角七分钱。这个同学马上对售货员说：“您

的账算错了！”你能知道他为什么这样快就知道“算错了账”吗？

排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为

矩形，问最少需要多少人参加团体操的排练？

§1.1十进制整数

在小学数学中，我们主要学习的是整数的运算，思考整数是怎样表示的？

“逢十进一”是什么意思？

我们通常接触到整数都是十进制的整数。十进制计数法就是采取逢十进一的

法则进行计数的方法。例如，1995就是由1个一千，9个一百，9个十和1个五

组成，因此1995这个数就可以写成

.

那么对于任意一个n+1位的正整数怎样用这种形式表示？

为了表示方便，我们经常把用字母表示数字的多位数，在这个多位数上面加

一个横线，以避免和乘法混淆，例如，就表示一个五位数。

§1.2数的整除

设有两个整数a，b（b≠0），若有另一整数q，使得，则称a被b

整除；或b能整除a；若a被b整除，也成a是b的倍数；b是a的约数，并记

作b|a.若a不能被b整除，则记作.

我们曾经学过下述有关整除的判别法则：

1、被2或5整除的数的特征是末位数字能被2或5整除；

2、被4或25整除的数的特征是末两位数字能被4或25整除；

3、被8或125整除的数字的特征是末三位数字能被8或125整除；

4、被3或9整除的数的特征是个位数字的和能被3或9整除；

5、被11整除的数的特征是其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被

11整除；

解题过程中我们常用的性质：

1、若，，则；

2、若，，则；

3、若，则是正整数；

4、若a、b互质，且，则；

5、若a、b互质，且，，则；

6、n个连续整数中，必有一个能被n整除；

§1.3~1.4奇数和偶数

把全体整数分成奇数类和偶数类是一种最常用的分类方法；

奇数就是通常所述的单数，偶数就是通常所说的双数；

一般的，一个整数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2

除余1）就叫做奇数；

偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1（n为整数）；

奇数和偶数有一些十分简单又明显的性质：

1、奇数不等于偶数；

2、奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数；

3、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和都

是偶数；

4、奇数奇数奇数，偶数整数偶数，偶数偶数的倍数；

5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性；

6、奇数的平方为4k+1型的数，偶数的平方为4k型的数（k为整数）；

7、任意两个整数的平方和被4除一定不余3；

8、任意两个整数的平方差被4除一定不余2；

§1.5质数与合数

对于正整数可以依照它们的正约数的个数分为三类：一类是只有一个正约数

的数，它就是1；一类是只有两个正约数的数，