专题3.6 抛物线的标准方程和性质【九大题型】.docx

专题3.6抛物线的标准方程和性质【九大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1抛物线的定义及辨析】 2

【题型2求抛物线的轨迹方程】 4

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】 6

【题型4求抛物线的标准方程】 7

【题型5根据抛物线的方程求参数】 9

【题型6判断抛物线的开口方向】 12

【题型7抛物线的对称性及其应用】 15

【题型8与抛物线有关的最值问题】 17

【题型9抛物线的实际应用问题】 20

【知识点1抛物线的标准方程】

1．抛物线的定义

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.

2．抛物线的标准方程

抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y2=2px(p0)

y2=-2px(p0)

x2=2py(p0)

x2=-2py(p0)

3．抛物线标准方程的求解

待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

【题型1\o椭圆定义及辨析\t/gzsx/zj165990/_blank抛物线的定义及辨析】

【例1】（2024高二下·河南新乡·期末）已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点，点M在C上，且点M到直线x=?p的距离为3p，则MF=（????）

A．3p B．2p C．72p

【解题思路】利用抛物线的定义即可求解.

【解答过程】因为点M到直线x=?p的距离为3p，

所以点M到抛物线C准线x=?p2的距离为

由抛物线的定义得，MF=

故选：D.

【变式1-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则

A．12 B．1 C．2

【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x2=2pyp0,则抛物线焦点为F0,p2，若Mx

【解答过程】因为抛物线为x2

则其焦点在y轴正半轴上,焦点坐标为0,p

由于点Aa,2为抛物线x2=2py

所以点A到抛物线的焦点F的距离为AF=2+p2

故选：C.

【变式1-2】（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线C：y2=43x的焦点为F，点P为抛物线C上一点，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M，且∠MPF=2

A．2 B．4 C．43 D．

【解题思路】根据题意，由抛物线的定义可得△PMF为等腰三角形，∠MFO=π

【解答过程】

??

由抛物线定义可知PF=PM，所以

记原点为O，因为∠MPF=2π3

则MF=23

故选：D.

【变式1-3】（2024·河南·三模）已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F,P为C上一点，O为坐标原点，当∠PFO=2π3

A．4 B．3 C．2 D．1

【解题思路】根据已知条件结合抛物线的定义求解即可.

【解答过程】如图，过P作C的准线的垂线，垂足为P1，作FE⊥PP1

由∠PFO=2π3

所以PE=

所以P1E=6?3=3

故选：B．

【题型2\o求抛物线的轨迹方程\t/gzsx/zj165994/_blank求抛物线的轨迹方程】

【例2】（2024高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x

A．y2=8x B．y2=4x C．

【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.

【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y

所以动点到定点F(1,0)

所以动点的轨迹是以F(1,0)

所以动点的轨迹方程是y2

故选：B.

【变式2-1】（2024高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：x+22+y2=1

A．y2=8x B．y2=4x C．y2

【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．

【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：MF=r?1

点M到定直线x=2的距离为d=r?1，

所以动点M到定点F?2,0的距离等于到定直线x=2

即M的轨迹为以F为焦点，x=2为准线的抛物线，

所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2

故选：D．

【变式2-2】（2024高二·全国·竞赛）平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:y2=4x，F为Γ的焦点，A，B为Γ上的两个不重合的动点