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直线与圆锥的交点;一、直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系,通常是将直线方程与
曲线方程联立,消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程:ax2
+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:
Δ0?直线与圆锥曲线;
;Δ=0?直线与圆锥曲线;
Δ0?直线与圆锥曲线.
若a=0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.若曲线为双曲线,则直线与双曲线的平行;若曲线为抛物线,则直线与抛物线的平行.
?
;由直线与圆锥曲线的位置关系知,直线与双曲线有且只有一个交点的充要条件是什么?抛物线呢?;二、圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点,A(x1,y1),
B(x2,y2),则弦长|AB|=.
;1.过原点的直线l与双曲线有两个交点,则直
线l的斜率的取值范围是()
;解析:设l:y=kx代入中,
得
即
由Δ0知,
;2.过抛物线y2=4ax(a0)的焦点F,作互相垂直的两条弦AB和CD,则|AB|+|CD|的最小值为()
A.19aB.8
C.17aD.16a
;解析:利用特殊情形,即AB的倾斜角为45°
此时AB:y=x-a,
∴A(3a+2,2a+2),
B(3a-2,2a-2),
∴|AB|=8a,|CD|=8a,
|AB|+|CD|=16a.
;3.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为()
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
;4.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、
Q两点,若线段PF与FQ的长分别是q、p,则等于________.;5.若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有公共点,则过点(m,n)的直线与椭圆的交点个数为________.
;直线与圆锥曲线的位置关系的判断中,尤其是已知两交点的确定位置,要注意条件的重要性,如:直线与双曲线交于两点应满足的条件.
(1)交左分支于两点?
;
(2)交右分??于两点?
(3)左、右分支各一点?
;设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a0)相关于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.
(1)证明:
(2)若,求△OAB的面积最大值.
?
;(1)联立方程消元利用Δ0易证.
(2)结合条件分析出
易求.
;1.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:
y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点.若|FA|=2
|FB|,则k=()
;解析:过A、B作抛物线准线l的垂线,垂足分别为A1、B1,由抛物线定义可知,|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
?∵2|BF|=|AF|,
∴|AA1|=2|BB1|,即B为AC的中点.
从而yA=2yB,
联立方程组
消去x得:y2-+16=0,
?
;1.弦长问题
利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不
存在时,可直接求交点坐标再求弦长.
;2.中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数关系”或“点差法”求
解.在椭圆中,以P(x0,y0)为中点的弦所在
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