专题2.5 点、线间的对称关系【七大题型】.docx

专题2.5点、线间的对称关系【七大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1点关于点的对称问题】 1

【题型2直线关于点的对称问题】 3

【题型3求点关于直线的对称点】 5

【题型4求两点的对称轴】 7

【题型5直线关于直线的对称问题】 9

【题型6光线反射问题】 11

【题型7将军饮马问题】 14

【知识点1点关于点的对称】

1．点关于点的对称

【题型1点关于点的对称问题】

【例1】（2024高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（????）

A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)

【分析】根据中点坐标公式即可求解.

【详解】解：设Ba,b，由题知，点A和点B的中点为2,1

4+a2=20+b2

所以B点的坐标为0,2

故选：B.

【变式1-1】（2024高二·全国·课堂例题）已知不同的两点Pa,?b与Qb+1,a?1关于点3,4对称，则ab=（

A．?5 B．14 C．?14 D．5

【分析】根据中点公式，列出方程，求得a,b的值，进而求得ab的值.

【详解】因为两点Pa,?b与Qb+1,a?1关于点

可得a+b+12=3a?b?12=4

所以ab=7×?2

故选：C.

【变式1-2】（2024高二·江苏·专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．

【分析】由中点坐标公式求解即可

【详解】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为B(x,y)，

则点P为AB的中点．

∴3=

解得x=5y=6

∴点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．

故答案为：(5,6)．

【变式1-3】（2024高二·江苏·专题练习）求点P(4,5)关于M(3,?2)对称的点Q的坐标(2,?9)．

【分析】由中点坐标公式求解即可

【详解】解：设点Q的坐标为(x,y)，

∵P(4,5)关于M(3,?2)对称的点为Q，

∴M为PQ的中点，故3=4+x

解方程组可得x=2y=?9，即Q

故答案为：2,?9．

【知识点2直线关于点的对称】

1．直线关于点的对称

【题型2直线关于点的对称问题】

【例2】（2024高二·全国·单元测试）直线2x+3y?6=0关于点(1,1)对称的直线方程为（????）

A．3x?2y+2=0 B．2x+3y+7=0

C．3x?2y?12=0 D．2x+3y?4=0

【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点1,1对称的点的坐标为

【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点1,1对称的点的坐标为(2?x,2?y)，以(2?x,2?y)代换原直线方程中的(x,y)得22?x

故选：D.

【变式2-1】（2024高二上·全国·期末）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1

A．12,32 B．?1,3

【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线l上P1,2的对称点，且该点在直线l

【详解】由题设P1,2关于0,1对称的点为(x,y)，若该点必在l

∴1+x2=02+y2=1，解得x=?1

故选：C.

【变式2-2】（2024·陕西宝鸡·一模）直线3x?2y=0关于点13,0对称的直线方程（

A．2x?3y=0 B．3x?2y?2=0

C．x?y=0 D．2x?3y?2=0

【分析】设所求直线上任一点为(x,y)，则求出其关于点13,0对称的点，代入直线

【详解】设所求直线上任一点为(x,y)，则其关于点13,0对称的点为

因为点23?x,?y在直线

所以323?x

所以所求直线方程为3x?2y?2=0，

故选：B.

【变式2-3】（2024高二上·江苏常州·期中）已知直线x+2y?3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为（????）

A．2 B．6 C．?2 D．?6

【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.

【详解】由于直线x+2y?3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，

所以两直线平行，故2a=4，则a=2，

由于点(3,0)在直线x+2y?3=0上，(3,0)关于点A(1,0)的对称点为(?1,0)，

故(?1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得?a+b=0，故b=a=2，

故选：A.

【知识点3点关于直线的对称】

1．两点关于某直线对称

(4)几种特殊位置的对称：

点

对称轴

对称点坐标

P(a,b)

x轴

(a,-b)

y轴

(-a,b)

y=x

(b,a)

y=-x

(-b,-a)

x=m(m≠0)

(2m-a,b)