专题2.1 直线的倾斜角与斜率【九大题型】.docx

专题2.1直线的倾斜角与斜率【九大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1求直线的倾斜角】 2

【题型2求直线的斜率】 3

【题型3已知直线的倾斜角或斜率求参数】 4

【题型4直线与线段的相交关系求斜率范围】 5

【题型5两条直线平行的判定】 7

【题型6已知两直线平行求参数】 9

【题型7两条直线垂直的判定】 10

【题型8已知两直线垂直求参数】 12

【题型9直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 13

【知识点1直线的倾斜角与斜率】

1．直线的倾斜角

(1)倾斜角的定义

①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.

2．直线的斜率

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.

(2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角(范围)

α＝0°

0°α90°

α＝90°

90°α180°

斜率(范围)

k＝0

k0

不存在

k0

(3)过两点的直线的斜率公式

过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).

【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．

(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．

【题型1求直线的倾斜角】

【例1】（2024高二下·浙江·期中）若直线l:y=x?1，则直线l的倾斜角为（????）

A．π4 B．3π4 C．π

【解题思路】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角.

【解答过程】直线l:y=x?1的斜率为1，所以直线l的倾斜角为π4

故选：A.

【变式1-1】（2024高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点0,0和1,?3，则直线l的倾斜角为（????

A．π3 B．23π C．5

【解题思路】不与x轴垂直的直线斜率k与倾斜角θ的关系k=tanθ,根据正切值求

【解答过程】该直线不与x轴垂直，设倾斜角为θ，

斜率k=tanθ=?3

故选：B.

【变式1-2】（2024·江苏南通·模拟预测）直线x?tanπ5

A．π5 B．3π10 C．7

【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可.

【解答过程】由题意可将原直线方程变形为y=?tan

由倾斜角的取值范围0,π，所以倾斜角为4

故选：D.

【变式1-3】（2024高二上·山东青岛·期末）已知直线l的一个方向向量为AB=1,3，则直线l

A．30° B．45° C．60°

【解题思路】设直线l的倾斜角为θ，由题意得tanθ=

【解答过程】设直线l的倾斜角为θ，0°

由直线l的一个方向向量为AB=1,3

则θ=60

故选：C．

【题型2求直线的斜率】

【例2】（2024高二上·湖南益阳·期末）已知点A1,3,B?2,2，则直线AB

A．－3 B．?13 C．1

【解题思路】由斜率公式计算即可得.

【解答过程】由A1,3,B?2,2，则直线AB

故选：C.

【变式2-1】（2024高二下·河北保定·开学考试）已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=?xtan80°的倾斜角大

A．?3 B．3 C．?33

【解题思路】根据直线l2方程求出直线l2斜率为?tan80°=tan100°，由此确定直线l2倾斜角100°

【解答过程】由?tan80°=tan100°得

所以l1的倾斜角为120°，即l1的斜率为

故选：A.

【变式2-2】（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的倾斜角为α，并且0°≤α120°，直线l的斜率k的范围是（????）

A．?3k≤0

C．k≥0或k?3 D．k≥0或

【解题思路】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.

【解答过程】因为斜率k=tanα，且0°≤α120°，其中α=90°时直线

当0°≤α90°时，得k≥0；

当90°α120°时，得k?3

故选：C.

【变式2-3】（2024高二上·山东淄博·阶段练习）直线l1经过两点A0,0，B1,3，直线l1的倾斜角是直线l

A．32 B．33 C．3

【解题思路】利用斜率与倾斜角的关系求解.

【解答过程】由题可得，kAB=3,所以直线l

所以l2的倾斜角为30°，所以l2

故选：B.

【题型3已知直线的倾斜角或斜率求参数】

【例3】（2024高一下·重庆·期末）若直线l:x+my+1=0的倾斜角为2π3，则实数m值为（????

A．3 B．?3 C