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1Chapter6Determinants
2OverviewInthischapterweintroduceideaofthedeterminantofasquarematrix.Wealsoinvestigatesomeofthepropertiesofthedeterminant.Forexample,asquarematrixissingularifandonlyifitsdeterminantiszero.
3CoresectionsCofactorexpansionsofdeterminantsElementaryoperationsanddeterminantsCramer’sruleApplicationsofdeterminants:inversesandWronskians
46.2CofactorexpansionsofdeterminantsIfAisan(n?n)matrix,thedeterminantofA,denoteddet(A)or|A|,isanumberthatweassociatewithA.determinantsareusuallydefinedeitherintermsofcofactorsorintermsofpermutations.Definition6.2.1:LetA=(aij)bea(2?2)matrix.ThedeterminantofAisgivenby
5Themethodof(2?2)determinants:（1）“-”“+”
6Themethodof(3?3)determinants:(3?3)determinants“-”“+”
7Definition6.2.2:LetA=(aij)bean(n?n)matrix,andletMrsdenotethe[(n-1)?(n-1)]matrixobtainedbydeletingtherthrowandsthcolumnformA.thenMrsiscalledaminormatrixofA,andthenumberdet(Mrs)istheminorofthe(r,s)thentry,ars.Inaddition,thenumbersarecalledcofactors(orsignedminors).Example1:DeterminetheminormatricesM11,M23,andM32forthematrixAgivenby
8Definition6.2.2:LetA=(aij)bean(n?n)matrix.ThenthedeterminantofAiswhereAijisthecofactorofaij.Example2:Computedet(A),where
9Example3:Computethedeterminantofthelower-triangularmatrixT,whereTheorem6.2.1:LetT=(tij)bean(n?n)lower-triangularmatrix.ThenthedeterminantofTisObviously6.2Exercise:P45421,34
106.3ElementaryoperationsanddeterminantsTheorem6.3.1:LetA=(aij)bean(n?n)matrix,then1.Elementaryoperations
11Theorem6.3.2:LetA=(aij)bean(n?n)matrix.IfBisobtainedfromAbyinterchangingtwocolumns(orrows)ofA,then
12Theorem6.3.3:LetA=(aij)bean(n?n)matrixandBisthe(n?n)matrixresultingfrommultiplyingtheithrow(orcolumn)ofAbyascalark,thenCorollary:LetA=(aij
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