高考科学复习创新方案-数学资料-第4讲-第1课时-利用导数研究不等式的证明问题.pdf

高考科学复习创新方案-数学资料-第4讲-第1课时-利用导数研究不等式的证明问题

第4讲导数与函数的综合应用

第1课时利用导数研究不等式的证明问题

考向一单变量不等式的证明

例1(2021·福州模拟)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性;

x

(2)当a＝e时,证明：xf(x)－e＋2ex≤0.

e

x

解(1)f′(x)＝－a(x0),

①若a≤0,则f′(x)0,f(x)在(0,＋∞)上单调递增;

e

a

②若a0,则当0x时,f′(x)0,

e

a

当x时,f′(x)0,

0e

e

()(a)

故f(x)在a上单调递增,在＋∞上单调递减．

ex

(2)证法一：因为x0,所以只需证f(x)≤x－2e.

当a＝e时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,

所以f(x)max＝f(1)＝－e.

ex

x

记g(x)＝－2e(x0),

x－1ex

则g′(x)＝x2,

所以当0x1时,g′(x)0,g(x)单调递减,

当x1时,g′(x)0,g(x)单调递增,

所以g(x)min＝g(1)＝－e.

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ex

xx

综上,当x0时,f(x)≤g(x),即f(x)≤－2e,即xf(x)－e＋2ex≤0.

x

证法二：证明xf(x)－e＋2ex≤0,

ex

2xex

即证exlnx－ex－e＋2ex≤0,从而等价于lnx－x＋2≤.

设函数g(x)＝lnx－x＋2,

1

x

则g′(x)＝－1.

所以当x∈(0,1)时,g′(x)0,

当x∈(1,＋∞)时,g′(x)0,

故g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,

从而g(x)在(0,＋∞)上的最大值为g(1)＝1.

ex

ex

设函数h(x)＝,

exx－1

则h′(x)＝ex2.

所以当x∈(0,1)时,h′(x)0,当x∈(1,＋∞)时,h′(x)0,

故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,

从而h(x)在(0,＋∞)上的最小