专题3.5 直线与双曲线的位置关系【九大题型】.docx

专题3.5直线与双曲线的位置关系【九大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1判断直线与双曲线的位置关系】 2

【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 4

【题型3双曲线的弦长问题】 6

【题型4双曲线的“中点弦”问题】 9

【题型5双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 11

【题型6双曲线中的最值问题】 16

【题型7双曲线中的定点、定值问题】 21

【题型8双曲线中的定直线问题】 26

【题型9双曲线中的向量问题】 32

【知识点1直线与双曲线的位置关系】

1．直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系：

一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.

①代入②得.

当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.

当0，即时，=.

0直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；

=0直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；

0直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.

(2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论：

①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件；

②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件0x1+x20x

【题型1判断直线与双曲线的位置关系】

【例1】（2024高二上·四川成都·期中）已知直线l:y=2x?8，双曲线C:x24?y2=1，则（????）

A．直线l与双曲线C有且只有一个公共点

B．直线l与双曲线C的左支有两个公共点

C．直线l与双曲线C的右支有两个公共点

D．直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点

【解题思路】发现点Q4,0在双曲线的右顶点A

【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出l:y=2x?8与C:x

由图可知直线l:y=2x?8过点Q4,0，它在双曲线的右顶点A

联立直线与双曲线方程得y=2x?8x24?y

则直线l与双曲线C的右支有两个公共点B,C.

故选：C.

【变式1-1】（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线x29?y2

A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2

【解题思路】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可.

【解答过程】因为双曲线x29?

所以，当m=0时，直线l:y=?23x+m

当m≠0时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点.

故选：C.

【变式1-2】（2024高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线C：x2?y23=1左焦点为F和点A0,2

A．0 B．1 C．2 D．3

【解题思路】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案.

【解答过程】由题意得双曲线C：x2?y

则直线l的斜率为k=2

故直线l的方程为y=3x+23

故直线l与y=3x平行，且

故直线l与双曲线C的交点个数是1，

故选：B.

【变式1-3】（2024高二上·江苏盐城·期中）若直线l:x+my?m?2=0与曲线x24?y2

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

【解题思路】

利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可.

【解答过程】

直线l:x+my?m?2=0，即my?1+x?2=0恒过点

又双曲线的渐近线方程为y=±1

则点2,1在其中一条渐近线y=1

又直线与双曲线只有一个交点，

则直线l过点2,1且平行于y=?12x

即满足条件的直线l有2条.

故选：C.

【题型2根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】

【例2】（2024高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线y=kx?2与双曲线x2?y2=4

A．?2,2

C．?∞,?2

【解题思路】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解.

【解答过程】联立方程组y=kx?2x2?

因为直线y=kx?2和双曲线x2

所以1?k2≠0Δ=16k2

所以实数k的取值范围为(?∞

故选：C.

【变式2-1】（2024高二上·江苏南京·期末）已知直线l：ax?2y+2a+4=0与双曲线C：x24?y

A．2 B．4 C．±2 D．±4

【解题思路】由题意求出双曲线的渐近线和直线经过的定点，根据定点在双曲线的一条渐近线上知直线l与另一条渐近线y=x平行即可求解.

【解答过程】由题意得，直线l过定点P?2,2，双曲线C的渐近线为y=±x

则点P在渐近线y=?x上，

因为直线l与双曲线C有且只有一个交点，则直线l与另一条渐近线y=x平行，所以a=2．

故选：A．

【变式2-2】（2024高二下·上海·阶段练习）如果直线l经过双曲线9x2?4y2

A．?32,32 B．?∞

【解题思路】设直线方程为y=kx，与双曲线联立消去y得，9?4k2x