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学科培优数学

“包含与排除”

学生授课日期

授长

知识定位

包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中

都会有相关内容，是学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非

常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目

是的重点。

知识梳理

一、容斥原理

1、若已知A、B、C三部分的数量（如图），其中C为重复部

分，则图中的数量等于A+B-C.CB

A

即：A∪B=A+B-A∩B，其中A∩B=C.

2、若已知A、B、C三部分的数量（如图），则图中的数量

等于A+B+C-（A与B部分+B与C部分+C与A部B

A

分）+A、B、C三者的部分.

即：A∪B∪C=A+B+C-（A∩B+B∩C+C∩A）+A∩B∩C.C

以上概念中符号解释：

“∪”表示并集，“A∪B”表示A并B，通俗的讲表示所有或属于A、或属于

B的元素的

数量（集合），“A∪B∪C”通俗的讲表示所有或属于A、或属于B、或属于

C的元素数量.

“∩”表示交集，“A∪B”表示A交B，通俗的讲表示所有即属于A、又属于

B的元素的

数量（集合），“A∩B∩C”通俗的讲表示所有即属于A，又属于B，还属于C

的元素数量

例题精讲

【试题】

【题目】某小学三年级四班，参加语文小组的有28人，参加数学小组的有29人，

有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学小组？

【答案】45

【解析】如右图所示，A圆表示参加语文小组的人，B圆表示参加

数学小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个

小组的人。图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文小组未参加

数学小组的人，有28-12＝16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示

只参加数学小组未参加语文小组的人，有29-12＝17(人)。

（法1）由此得到参加语文或数学小组的有：16＋12＋17＝45(人)。

（法2）根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学