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专题1.7空间向量的应用大题专项训练【五大题型】
【人教A版(2019)】
姓名:___________班级:___________考号:___________
题型一用空间向量研究直线、平面的平行
题型一
用空间向量研究直线、平面的平行
1.(2024高二上·湖南株洲·期中)如图,已知在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M,N,
??
(1)MN//平面C
(2)平面MNP//平面C
【解题思路】(1)建立空间直角坐标系,根据正方体性质可知DA为平面CC1D
(2)证明DA也是平面MNP的一个法向量即可.
【解答过程】(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,
设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
??
由正方体的性质,知AD⊥平面CC
所以DA=(2,0,0)为平面C
由于MN=(0,1,?1)
则MN?
所以MN⊥
又MN?平面CC
所以MN//平面C
(2)证明:因为DA=(2,0,0)为平面C
由于MP=(0,2,0),MN
则MP·
即DA=(2,0,0)也是平面MNP
所以平面MNP//平面C
2.(2024高三·全国·专题练习)在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=a(0a2).求证:MN
【解题思路】
建立空间直角坐标系,应用向量法求证.
【解答过程】
如图建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,0,1),F(1,1,0),E(0,1,0),
∵CM=BN=a,∴Ma2,0,1?
显然平面BCE的一个法向量为BA=(1,0,0)
而MN=(0,
∵MN?BA=0,MN?平面BCE,∴MN
3.(2024·陕西安康·模拟预测)如图,已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体ABCD?A1B
??
(1)求证:PC//平面ADC
(2)若AB=3,求四棱锥P?ADC
【解题思路】(1)建立空间直角坐标系证明线面平行即可;
(2)根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可.
【解答过程】(1)如图以点A1为原点,A1D1为x轴A1B1
设AB=2a,则PC=32AB=3a,过P作PP1平面ABCD.
因为PC2=P
C
设平面ADC1B
A0,0,2a
AD→
则2ax=02ax+2ay?2az=0
可得x=0y=1
所以n→=0,1,1,n→·PC→=0?a+a=0
??
(2)因为AB=3,所以CD
因为PC//平面ADC1B
因为CD1⊥C1D,AD⊥CD1,AD∩DC1=D,
VP?AD
4.(2024高二·全国·专题练习)如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,D,E分别为棱AB,B1C
【解题思路】建立空间直角坐标系,利用向量法来证得DE//平面
【解答过程】在三棱柱ABC?A1B1C1中,BB1⊥
所以AC=A1C1=4
以B为原点,BC,BA,BB1为
设BB1
A1
所以DE=1,?3
设平面ACC1A
所以AC?n=2x?23y=0
所以DE?n=
又DE?平面ACC1A1,所以
5.(2024高二下·浙江·期末)如图几何体为圆台一部分,上下底面分别为半径为1,2的扇形,D1O=OB,体积为
??
(1)求AB;
(2)劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面
【解题思路】(1)设∠A1DB1=∠AOB=α,由扇形的面积公式分别表示出上底的面积S1
(2)过O作OB的垂线交劣弧AB于N,以ON,OB,OD1所在的直线分别为
【解答过程】(1)解:由题意可知D1O=OB=2,设
设上底的面积为S1,下底的面积为S
则S1=1
所以V=13(
在△AOB中由余弦定理可得AB
所以AB=23
(2)不存在,证明如下:
证明:过O作OB的垂线交劣弧AB于N,
由(1)可知∠AOB=2π3
以ON,OB,OD1所在的直线分别为
??
则A(3,?1,0),D1(0,0,2),
设M(2cos
则OB1=(0,1,2),A
设平面AD1M
由n?AD
因为?π6β
取x=2sinβ+1,则有
如果OB1//平面A
即3?2
即2sinβ+1=0,矛盾,所以OB
故劣弧AB上不存在M使OB1∥平面
6.(2024高二上·全国·课后作业)在正方体ABCD?A1B1C1D1中,若
??
求证:
(1)BO
(2)BO1//
(3)平面ACD1//
【解题思路】(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、
(2)求出平面ACD1的法向量n,及直线的方向向量BO1,从而得到
(3)可以利用A1C1
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