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2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(提高篇)
参考答案与试题解析
第I卷(选择题)
一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分)
1.(5分)(2024高二下·江苏泰州·阶段练习)O为空间任意一点,若AP=?14OA+18OB+tOC,若A,
A.1 B.98 C.18
【解题思路】将AP=?14OA+
【解答过程】因为AP=OP?OA,所以AP=?
由于A,B,C,P四点共面,则34+1
故选:C.
2.(5分)(2024高三·全国·专题练习)已知点A(0,3),B(3,2),直线l过点P1,1且与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(????
A.[-2,0)∪(0,12] B.(-∞,-1
C.[-2,12] D.(-∞,-2]∪[1
【解题思路】求出kPA和kPB,数形结合观察满足直线l过点P1,1
【解答过程】根据题意,作出图形如下图:
直线PA的斜率为kPA=3?10?1=?2
所以由图可知过点P1,1且与线段AB有公共点时,直线l的斜率取值范围是?
故选:D.
3.(5分)(2024高二上·贵州毕节·期末)如图1,在四面体OABC中,点M,N分别为线段OA,BC的中点,若MN=xOA+yOB+z
??
A.?12 B.14 C.
【解题思路】根据给定的几何体,利用空间向量的基底表示MN,再借助空间向量基本定理求解即得.
【解答过程】在四面体OABC中,由M,N分别为线段OA,BC的中点,
得MN=
而MN=xOA+y
所以x+y?z=?1
故选:A.
4.(5分)(2024高二上·吉林长春·阶段练习)已知直线l的倾斜角等于120°,且l经过点?1,2,则下列结论中不正确的是(????)
A.l的一个方向向量为u
B.l在x轴上的截距等于2
C.l与直线3x?3y+2=0
D.点?1,0到直线l上的点的最短距离是1
【解题思路】根据倾斜角求出直线l的斜率,再判断其方向向量即可判断A;求出直线l的方程,再求出l在x轴上的截距即可判断B;由两直线的斜率关系可判断C;求出点?1,0到直线l的距离即可判断D.
【解答过程】对于A,因为直线l的倾斜角等于120°,所以直线l的斜率k=tan
所以直线l的一个方向向量为n=1,?3
所以u=?3
对于B,由选项A可知直线l的斜率k=?3,又l过点?1,2
所以直线l的方程为y?2=?3(x+1),即
令y=0,得x=2
所以l在x轴上的截距等于23
对于C,直线3x?3y+2=0的斜率为33,因为
所以l与直线3x?3y+2=0
对于D,点?1,0到直线l:3x+y+3?2=0
所以点?1,0到直线l上的点的最短距离是1,故D正确.
故选:B.
5.(5分)(2024高二下·江苏徐州·阶段练习)已知空间向量a=?2,?1,1,b=
A.a+b∥a B.a
C.2a⊥5
【解题思路】根据空间向量的坐标运算,即可判断选项.
【解答过程】对于A:a+b=1,3,6,因为?21
对于B:a与b夹角的余弦值为a?
对于C:2a=?4,?2,2,5a+6
对于D:4a=46
故选:C.
6.(5分)(2024高二上·浙江·期末)已知圆C:x2?2x+y2=0与直线l:y=mx+2mm0,过l上任意一点P向圆C引切线,切点为A和B,若线段AB
A.277 B.77 C.14
【解题思路】推导出PC垂直平分AB,分析可知,当PC取最小值时,AB取最小值,此时,PC⊥l,利用点到直线的距离公式可得出关于m的等式,解之即可.
【解答过程】圆C的标准方程为x?12+y2=1
由圆的几何性质可知AC⊥PA,BC⊥PB,
因为PA=PB,AC=BC,
所以,∠APC=∠BPC,则PC⊥AB,
设AB∩PC=E,则E为AB的中点,
由勾股定理可得PA=
由等面积法可得AB=2
所以,当PC取最小值时,AB取最小值,由21?1PC
所以,PC的最小值为2,当PC与直线l垂直时,PC取最小值,
则3mm2+1=2
故选:D.
7.(5分)(2024高一下·重庆沙坪坝·期末)已知点P为直线l:x+y?2=0上的动点,过点P作圆C:x2+2x+y2=0的切线PA,PB,切点为A,B,当PC
A.3x+3y+1=0 B.3x+3y?1=0
C.2x+2y+1=0 D.2x+2y?1=0
【解题思路】先利用圆切线的性质推得A,P,B,C四点共圆,AB⊥CP,从而将PC?AB转化为2PA,进而确定PC⊥l时PC
【解答过程】因为圆C:x2+2x+y
所以圆心C?1,0,半径为r=1
??
因为PA,PB是圆C的两条切线,则PA⊥AC,PB⊥BC,
由圆的知识可知,A,P,B,C四点共圆,且AB⊥CP,PA=PB,
所以PC?AB=4
所以当PC最小,即PC⊥l时,PC?AB取得最小值,此
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