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2023国际数学奥林匹克竞赛：能锻炼数学

思维的好题

2023国际数学奥林匹克全部题目已发布,今天把第二天(非几何)题

目答案和解题思路发一下,最近不太想画图.这些题目虽然具有一些

难度,但是即使对竞赛毫无了解也可以当作练习题.面对奥赛题目最

好的办法就是认真对待它,并且要多思考、多尝试.如果做不出来也

很正常,今天我带着大家一起了解非常巧妙且(据我所知)最简短的

解答思路.

首先来个别人的题目点评:

第一题常规题目,考察对基本证明方法的理解与运用

第二题中等联赛难度(也就是第2或3题),不太适合放在IMO

第三题具有一定难度,看似数论但实则代数,比较适合放在IMO第二

题的位置

第四题常规竞赛题,需要少量思考与观察(放联赛第一题还可以)

第五题具有一定难度,不错的组合,放IMO5也比较合理

第六题也不错,很多人认为是近十年来最难的IMO几何题

#4

首先观察题目,容易发现为正整数.从简单的情况开始分析,可以先

从具体情况讨论,则

因为不等式的限制条件比较少,这一数字的选择貌似没有特殊意义,

容易想到对每一项进行比较.由不等式知

因为等号仅在时成立,知.

经尝试,我们无法直接得出,我们再讨论,同样由不等式以及题目条

件得

这样进行下去可以证明,显然不符合题目要求.从另一方面考虑,如

果中和其中一个必须大于等于,则易知.目前看来这个猜想是可能成

立的,并且该条件等价于.

实际上,由题目条件得

由不等式知

由不等式知

则.证毕.

#5

组合题还可以,其实一般组合题都挺好玩的,而这种需要构造出某种

最优情况的最好办法就是多去尝试,多去“玩”这道题目.玩着玩着,

我们会发现一些规律,貌似.为了证明可以实现该值,我们考虑进行

构造,并且在构造时遵循以下原则:

1.每次选择可以忽略关于速度的考虑,即忽略如何快速达到最近

红圈

2.每次选择使得在之后的选择中可以将所经过红圈数量最大化

实际上,我们在进行编程的时候可以正向考虑这个问题(类似的问题

曾经出现在国际信息学奥林匹克上),但是我们解决的不是编程问题,

而是数学问题,是需要进行证明的.因此,我们在正向考虑的过程中

难以在每一时刻都遵循这两个原则.

对于该问题,直接从最优终止值开始貌似也不是特别好的选择,因为

难度与正向选择基本上没有差别.因此,我们考虑从中间切入问题,

结合数学归纳法进行证明.

我们可以对红圆进行标数,其中每个红圆上的数字代表从第一层到

该红圆途中最多可能经过的红圆数量.接下来通过尝试可以注意到

一些性质:

1.若两个红圆均被标上数字,则以为顶点的小三角形不能包涵圆

且以为顶点的小三角形不能包涵圆.

证明:假设性质不正确,则从其中一个圆开始必然可以经过个圆,矛

盾!

1.标有数字的圆不得超过个.时显然.假设性质在时成立,则最多

有个圆被标有小于等于的数字.因此,存在一个标有的圆位于图的第

行.由结论1,易知至多存在个形如“/”或“\“的区域(即位于包含小三

角形外的区域)含有标有数字的红圆.又由结论1,每一个区域至多

含有个标有数字的红圆.因此,至多有个红圆标有数字,归纳证毕.

由于结论2,易知可以实现.

实际上,结合以上性质,通过构造容易发现这也是最优值.可将三角

分为层,其中第层为行,第层为第行.对每一层的第行,再将第个圆

染为红色即可.