《微积分》上册部分课后习题答案.docVIP

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微积分上册一元函数微积分与无穷级数

第2章极限与连续

2.1数列的极限

1.对于数列,若(),(),证明:()．

证.,(),,只要,就有;又因(),,只要,就有.

取,只要,就有,因此有().

2．若，证明，并举反例说明反之不一定成立.

证明：，由定义有：，当时恒有

又

对上述同样的和，当时，都有成立

∴

反之,不一定成立.如取

显然，但不存在.

2.2函数的极限

1.用极限定义证明:函数当时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．

证:必要性.若,,,当时,就有.因而,当时,有,所以;同时当时,有,所以.

充分性.若,.,,当时,就有,也,当时,有.取,则当时,就有.所以.

2．写出下列极限的精确定义：（1），（2），（3），（4），（5）．

解：（1）设是一个函数，如果存在一个常数，满足关系：，使得当时，恒有，则称A是当时的极限，记作

或.

（2）设是一函数，其中.若存在常数，满足关系：，使得当时，恒有成立，则称是当时的极限，记作：或.

（3）设是任一函数，若，，使得当时，恒有，则称当时的极限为正无穷大，记作

或.

（4）设是一函数，其中，若存在常数，满足关系：，，使得当时，恒有则称当时的极限为负无穷大，记作：

或.

（5）设是一函数，其中，若存在常数，满足关系：，使得当时，恒有成立，则称是当时的极限，记作：或.

2.3极限的运算法则

1.求．

解.

2．求．

解.,,

3．设存在，，求.

解：设=A，则

再求极限：

.

4．确定a,b,c，使成立.

解：依题意,所给函数极限存在且

上式左边=

同理有

故为所求.

2.4极限存在准则

1.设=10，，()．试证数列{}的极限存在，并求此极限．

证:由,,知.假设,则有.由数学归纳法知,对一切正整数,有,即数列{}单调减少.又显然,,即{}有界.故存在.

令,对两边取极限得,从而有,或,但,故

2．证明数列收敛，并求其极限．

证明：利用准则II，单调有界必有极限来证明.

，由递推公式

同理可证：有界

又

同理，…，数列单调递增，

由准则II存在，设为A，由递推公式有：

（舍去负数）

.

3．设为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于，证明.

证明：设为的一子列，则也为一单调增加的数列，且

对于，，当时有从而

取，对一切都有有界.

由子列有界，且原数列又为一单调增加的数列，所以，对一切有有界，由准则II，数列极限存在且.

2.5两个重要极限

1.求．

解：原式=

2.求．

解.原式=

3.求．

解.原式=

4.设求.

解：，

.

2.6函数的连续性

研究函数的连续性，并指出间断点类型.

解.，(整数集)为第一类(跳跃)间断点.

2.证明方程有且只有一个实根.

证.令,由零点定理,至少存在一点使得,其唯一性,易由的严格单调性可得.

3．设，求的间断点，并说明间断点的所属类型.

解.在内连续,,,,因此,是的第二类无穷间断点;

,因此是的第一类跳跃间断点.

4．讨论的连续性．

解.,因此在内连续,又,在上连续.

5.设函数内连续，且，证明至少存在一点，使得.

证：令，则，从而.由极限保号性定理可得，存在使；存在使.在上满足零点定理的条件，所以至少存在一点使得，即.

6．讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型.

解：，显然是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.

7．证明：方程至少有一个正根，且不超过.

证明：设，考虑区间

，，

当时，是方程的根；

当时，由零点定理，至少使

，即成立,

故原方程至少有一个正根且不超过.

2.7无穷小与无穷大、无穷小的比较

1.当时，下面等式成立吗？

(1)；(2)；(3)．

解.（1）,

（2）

（3）不一定趋于零,不一定成立(当时)

2.当时，若，则求常数．

解.因为当时，若,所以

,故任意.

3．写出时，无穷小量的等价无穷小量.

解：

当，～

第3章导数与微分

3.1导数概念

1.设函数在处可导，求下列极限值．

(1)；(2)．

解.（1）原式

（2）原式

2．设函数在处可导，且有

试证：函数在内可导，且．

解：令，由有得．，

故在内处处可导，且．

3.设在内有意义，且，，

又，其中,求．

解：

4.设函数处可导，且，求.

解：由已知，必有，从而，而连续，故.于是.故.

5.设具有二阶导数，.