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微积分上册一元函数微积分与无穷级数
第2章极限与连续
2.1数列的极限
1.对于数列,若(),(),证明:().
证.,(),,只要,就有;又因(),,只要,就有.
取,只要,就有,因此有().
2.若,证明,并举反例说明反之不一定成立.
证明:,由定义有:,当时恒有
又
对上述同样的和,当时,都有成立
∴
反之,不一定成立.如取
显然,但不存在.
2.2函数的极限
1.用极限定义证明:函数当时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等.
证:必要性.若,,,当时,就有.因而,当时,有,所以;同时当时,有,所以.
充分性.若,.,,当时,就有,也,当时,有.取,则当时,就有.所以.
2.写出下列极限的精确定义:(1),(2),(3),(4),(5).
解:(1)设是一个函数,如果存在一个常数,满足关系:,使得当时,恒有,则称A是当时的极限,记作
或.
(2)设是一函数,其中.若存在常数,满足关系:,使得当时,恒有成立,则称是当时的极限,记作:或.
(3)设是任一函数,若,,使得当时,恒有,则称当时的极限为正无穷大,记作
或.
(4)设是一函数,其中,若存在常数,满足关系:,,使得当时,恒有则称当时的极限为负无穷大,记作:
或.
(5)设是一函数,其中,若存在常数,满足关系:,使得当时,恒有成立,则称是当时的极限,记作:或.
2.3极限的运算法则
1.求.
解.
2.求.
解.,,
3.设存在,,求.
解:设=A,则
再求极限:
.
4.确定a,b,c,使成立.
解:依题意,所给函数极限存在且
上式左边=
同理有
故为所求.
2.4极限存在准则
1.设=10,,().试证数列{}的极限存在,并求此极限.
证:由,,知.假设,则有.由数学归纳法知,对一切正整数,有,即数列{}单调减少.又显然,,即{}有界.故存在.
令,对两边取极限得,从而有,或,但,故
2.证明数列收敛,并求其极限.
证明:利用准则II,单调有界必有极限来证明.
,由递推公式
同理可证:有界
又
同理,…,数列单调递增,
由准则II存在,设为A,由递推公式有:
(舍去负数)
.
3.设为一单调增加的数列,若它有一个子列收敛于,证明.
证明:设为的一子列,则也为一单调增加的数列,且
对于,,当时有从而
取,对一切都有有界.
由子列有界,且原数列又为一单调增加的数列,所以,对一切有有界,由准则II,数列极限存在且.
2.5两个重要极限
1.求.
解:原式=
2.求.
解.原式=
3.求.
解.原式=
4.设求.
解:,
.
2.6函数的连续性
研究函数的连续性,并指出间断点类型.
解.,(整数集)为第一类(跳跃)间断点.
2.证明方程有且只有一个实根.
证.令,由零点定理,至少存在一点使得,其唯一性,易由的严格单调性可得.
3.设,求的间断点,并说明间断点的所属类型.
解.在内连续,,,,因此,是的第二类无穷间断点;
,因此是的第一类跳跃间断点.
4.讨论的连续性.
解.,因此在内连续,又,在上连续.
5.设函数内连续,且,证明至少存在一点,使得.
证:令,则,从而.由极限保号性定理可得,存在使;存在使.在上满足零点定理的条件,所以至少存在一点使得,即.
6.讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型.
解:,显然是第一类跳跃间断点,除此之外均为连续区间.
7.证明:方程至少有一个正根,且不超过.
证明:设,考虑区间
,,
当时,是方程的根;
当时,由零点定理,至少使
,即成立,
故原方程至少有一个正根且不超过.
2.7无穷小与无穷大、无穷小的比较
1.当时,下面等式成立吗?
(1);(2);(3).
解.(1),
(2)
(3)不一定趋于零,不一定成立(当时)
2.当时,若,则求常数.
解.因为当时,若,所以
,故任意.
3.写出时,无穷小量的等价无穷小量.
解:
当,~
第3章导数与微分
3.1导数概念
1.设函数在处可导,求下列极限值.
(1);(2).
解.(1)原式
(2)原式
2.设函数在处可导,且有
试证:函数在内可导,且.
解:令,由有得.,
故在内处处可导,且.
3.设在内有意义,且,,
又,其中,求.
解:
4.设函数处可导,且,求.
解:由已知,必有,从而,而连续,故.于是.故.
5.设具有二阶导数,.
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