湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试数学试题含答案.docx

2024届高中毕业生四月模拟考试

数学试卷

本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

祝考试顺利

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设，，，则（）

A. B.0 C. D.

2.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

3.下面四个数中，最大的是（）

A. B. C. D.

4.数列的首项为1，前n项和为，若，（m，）则（）

A.9 B.1 C.8 D.45

5.复数（，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.函数的图象大致为（）

A. B. C. D.

7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）

A.228 B.210 C.240 D.238

8.抛物线上有四点A，B，C，D，直线，交于点P，且，.过A，B分别作的切线交于点Q，若，则（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）

A.0 B.4 C.8 D.16

10.已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（）

A. B. C. D.

11.如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（）

A.该三棱台的体积最小值为 B.

C. D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.写出函数的一条斜率为正的切线方程：______.

13.两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______.

14.双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

15.（13分）

数列中，，，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的前n项和为，且满足，，求.

16.（15分）

已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，

（1）证明：；

（2）设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值.

参考公式：

17.（15分）

空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，

图1图2

（1）如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；

（2）如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，

（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；

（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数.

18.（17分）

已知函数，，

（1）若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；

（2）记，证明：.

19.（17分）

欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），

（1）求和；

（2）现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；

（3）设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值.

2024届高中毕业生四月模拟测试

数学参考答案与评分标准

选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

C

B

D

B

A

A

A

D

ACD

BC

BD

填空题：

12.（合理即可）13.0.8614.2

解答题：

15.（13分）

解：（1）因为，所以，

所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，

则，则

.……5分

（2）由（1）问知，，则，

又，则，两式相乘得，即，因此与同号，

因为，所以当时，，此时，

当n为奇数时，，

n为偶数时，：

当时，，此时，

当n为奇数时，，

n为偶数时，；

综上，在时，；时，.……