6.4.3 余弦定理、正弦定理（解析版）.docVIP

第六章平面几何及其应用

6.4.3余弦定理、正弦定理

基础巩固

1．在中，下列各式正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；

对于选项B：因为，故，故选项B错误；

对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；

对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；

2．在中，若，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

在中，若，

所以，

又因为，

所以.

3．在中，若，，则外接圆的半径为（）

A．6 B． C．3 D．

【答案】C

【详解】

在中，若，，所以，

由正弦定理，所以．

4．在中，，，是角，，所对的边，且，，，则等于（）

A．60° B．120° C．60°或120° D．135°

【答案】C

【详解】

，，，

由正弦定理得,

,，

45

或，

5．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（）

A．或 B．

C． D．以上都不对

【答案】C

【详解】

在中，由正弦定理可得：得，

解得：，

因为，所以，所以，

6．的三边满足，则的最大内角为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由余弦定理可得，，，

因此，的最大内角为.

7．的角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，的面积为2，则（）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【详解】

，∴，∵，

∴或，∴或，

∴或.

8．在中，，，，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

在中，，，，

由余弦定理可得，解得，则，所以，，

因此，.

9．在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为

所以由正弦定理可得，因为，所以

因为角A为锐角，所以

10．(多选)对于，有如下命题，其中正确的有（）

A．若，则是等腰三角形

B．若是锐角三角形，则不等式恒成立

C．若，则为钝角三角形

D．若，，，则的面积为或

【答案】BCD

【详解】

对于．

对A，，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；

对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；

对C，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；

对D，，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．

综上可得：只有BCD正确．

11．(多选)在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（）

A．的最小值是 B．的最大值是

C．的最小值是 D．的最小值是

【答案】AD

【详解】

由题意知，

由角平分线的性质以及面积公式可得，

化简得，

，当且仅当时成立，解得，故A正确，B错误；

，，

，

当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确.

12．(多选)如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（）

A． B．BD=2

C． D．△CBD的面积为

【答案】AC

【详解】

解：由，得：，

又角为钝角，

解得：，

由余弦定理，得：，

解得，可知为等腰三角形，即，

所以，

解得，故正确，

可得，

在中，，得，可得，故错误，

，可得，可得，故正确，

所以的面积为，故错误

拓展提升

13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值；

（3）若，，求边a的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【详解】

（1）由正弦定理有：，而为的内角，

∴，即，由，可得，

（2），

∵，，可得，而，

∴，

（3）由余弦定理知：，又，，，

∴，可得.

14．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）等边三角形.

【详解】

（Ⅰ）∵，整理得，

∴，

∴．

（Ⅱ）由正弦定理，得，而，

∴，即，

∴，

∴，

∴为等边三角形．

15．在①，②;③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.

问题:已知的内角的对边分别为，________，角的平分线交于点，求的长.

(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

【答案】.

【详解】

若选条件①：由，可得

因为，

所以

在中，由

所以，

所以

(法一）因为为角平分线，

所以，

故，

在中，，

可得

(法二）因为为角平分线，

所以，

因为

所以，

解得

若选条件②：由，

可得，

因为

所以，

可得，

因为，

所以

故，

可得.

（下同条件①)

若选条件③:由，可得，

在中，由，

所以，

所以.

（下同条件①).

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