高中数学人教A版必修第二册第六章：6-2-4向量的数量积(一)【至性质(4)】.docx

高一年级人教A版数学必修第二册第六章

6.2.4向量的数量积（第1课时）

一．教学目标：

通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；

会指出两个具体向量的夹角并掌握两个向量夹角的范围，会画出两个向量的夹角；

通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；

掌握向量数量积的重要性质，并能运用性质解决相关问题。

二．教学重点：平面向量数量积的概念及应用、平面向量投影的概念以及投影向量的意义。三．教学难点：平面向量投影向量的意义。

四．教学过程：

情境引入：

前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？

在物理课中，我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F

所做的功W?FScos?，其中?是F与S的夹角。

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。

因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念。

概念讲解(1)向量的夹角

→

定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，

→

OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．显然，①当θ＝0时，向量a，b同向．

②当θ＝π时，向量a，b反向．

③当θ＝π时，向量a，b垂直，记作a⊥b.

2

(2)平面向量数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.

规定：零向量与任何向量的数量积等于0.

思考：对比向量的加减法，两个向量的数量积的运算结果有什么不同？与哪些量有关。解析：向量加减运算的结果是一个向量，两个向量的数量积是一个数量．向量数量积的

大小与两个向量的长度及其夹角有关。3.概念应用

例1：已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝

2?

2?

，求a·b.

3

1

解：a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos

3

＝5×4×（-

）=-10.

2

2例2：设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝?54

2

解：由a·b＝|a||b|cosθ，得

，求a与b的夹角θ.

cosθ＝a·b＝?54

2??

2 3?

.因为θ∈[0，π]，所以θ＝ .

4.概念讲解

|a||b|

12?9 2 4

投影向量

→ → → →

如图(1),设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD

→ →

所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，这种变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．

投影向量的意义

如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作OM?a,CD?b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.

探究：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为?，那么OM1与e，a，?之间有怎样的关系？

显然，OM1与e共线，于是OM1??e.

OM1下面我们探究?与a，?的关系，进而给出OM1的明确表达式，我们分?为锐角、直角、钝角以及??0，??π等情况进行讨论.

OM1

当θ为锐角（图1）时，OM1

与e方向相同，??

=|a|cosθ，所以

OM1?

e=|a|cosθe;

OM1?

OM1

OM1当θ为直角（图2）时，λ=0，所以OM1?0=|a|cos2e;

OM1

当θ为钝角（图3）时，

OM1

与e方向相反，所以??

? =-

|a|cos?MOM1?-|a|cos?????=|a|cosθ，

即OM1?|a|cosθe.

特别地，当θ=0时，λ=|a|，所以OM1?|a|e=|a|cos0e;

当θ=π时，λ=-|a|，所以OM1?-|a|e=|a|cos?e.

从上面的讨论可知，对于任意的??[0，π]，都有OM1?|a|cosθe.

从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，这时，它们的数量积又有怎样的特殊性?

重要性质

由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质.

设a，b是非零向量，它们的