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第一章矩阵(Matrix)

§1.1矩阵的定义与运算矩阵的概念矩阵的运算-线性运算-乘法运算-其他运算

定义其中称为矩阵的第行第列元元素(简称元)。阶矩阵也记为或.由个数排成的一个m行n列的的数表定义数域F:包含0，1的子集，且加减乘除运算封闭。注：矩阵一般用大写字母A,B,C….表示.矩阵的定义称为数域F上的一个矩阵,

矩阵的发展历史在线性代数里，矩阵是一个主要的研究对象，也是一个主要工具.1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵的概念。1858年凯莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则.被认为是矩阵论的创立者。阿瑟·凯莱(ArthurCayley,1821～1895)

矩阵的应用一:图像处理对应一个74x133x3的矩阵右图是Red对应的矩阵

矩阵的应用二搜索引擎Google图2-11网页链接关系图网页链接关系图①②③④⑤⑥⑦①②③④⑤⑥⑦=1，若页面j给页面i投票；否则为0Google的网页排名问题转化为求与A相关的特征值问题

当时,即矩阵的行数等于列数时,称为n阶方阵其中称为方阵A的主对角元.方阵:零矩阵:所有元素都为零的矩阵。记为Omxn.特殊矩阵

行矩阵(行向量):行数为1的矩阵，若列数为n，也称为n维行向量。列矩阵(列向量):列数为1的矩阵，若行数为m，也称为m维列向量。

单位矩阵：主对角元素全为1，其他元素全为零的n阶方阵记为或,很多书也记为或.通常对角矩阵记为对角矩阵：如果阶方阵中的元满足则称是对角矩阵当时，称A为数量矩阵，记为A=kI.

上三角矩阵：如果阶方阵中的元满足则称为上三角矩阵如果阶方阵中的元满足则称为下三角矩阵.

对称矩阵：如果阶方阵中的元满足则称为对称矩阵

反对称矩阵：如果阶方阵中元满足则称为反对称阵.由定义可以推出,若为反称矩阵,则,即因此反对称阵的主对角线元全为零

定义如果是两个矩阵,则称矩阵与矩阵相等,记为.定义行数列数对应相等的矩阵为同型矩阵.定义(加法):仍是矩阵,且两个矩阵的和同型且满足矩阵的线性运算

例1设则

负矩阵:记,则称其为的负矩阵定义(减法):减法同样也要求同型矩阵.

设是矩阵,是常数,定义(数乘)数与矩阵的乘积或者定义为即

矩阵的加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算，其运算规律为：．．

例2设且，求矩阵．解在等式两端同加上，得

上式两端同乘，得

定义(矩阵乘法)注：A的列数和B的行数相等时，AB才有意义。满足矩阵的乘法运算

例3设矩阵求乘积．解

矩阵向量乘法意义之一简化了多元线性方程组的表示

则方程组又可表示为

则方程组又可表示为

阶矩阵A与n维列向,其中y是m维列向量，且量x的乘法记为根据矩阵乘法定义，矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系

特别对于二阶方阵而言，A和x的乘法实质给出了向量y在A坐标系(β1Oβ2)下的刻划方法。

矩阵：为