高中数学人教A版必修第一册第五章：5-5-1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1).docx

高一——数学——人教2019A版必修第一册第五章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）

第五章三角函数

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）

【教学内容】

掌握公式的推导产生过程．

熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，掌握公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．

【教学目标】

数学抽象：由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式的推导；

逻辑推理：两角和与差的余弦、正弦、正切公式之间的联系；

数学运算：运用和差角角公式求值；

直观想象：观察公式间相互关系，联想推导过程；

数学建模：公式的灵活运用；

【重点、难点】

重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式

难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。

【教学过程】一）温故知新

两角和与差的余弦公式：C(???)

对于任意角α，β有cos?????=cos??????????+sin??????????

注意结构：右边是CC+SS，中间符号与左边的相反

【设计意图】巩固知识基础，为本节课内容作好知识铺垫二）探究新知

由公式C(???)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？

下面以公式

C(???)为基础来推导其他公式．

思考C(???)

比较C(???)与C(???)，并注意到α＋β与?????之间的联系：

??+??＝???（?β）则由公式cos?????=cos??????????+sin??????????，

有cos??+??=cos[??????]＝cos???????????+sin???????????=cos???????????sin??????????

于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(???)．

cos??+??=cos???????????sin??????????．

注意结构：右边是CC—SS，中间符号与左边的相反

【设计意图】引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知。此公式也可以用换元法证明

探究S(???)、S(???)

上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据C(???)，C(???)及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β

的正弦、余弦表示S(???)，S(???)的公式吗？（学生小组讨论合作）

通过推导，可以得到：

s??????+??＝sin??????????+cos??????????，（S(???)）注意结构：右边是SC+CS，中间符号与左边的相同s?????????＝sin???????????cos??????????;（S(???)）注意结构：右边是SC—CS，中间符号与左边的相同

【设计意图】教师引导，学生合作学习，得到新公式，培养学生合作交流能力。

答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：

?sin(???)?cos?π?(???)??cos??π ? ?

??2

?? ??2??????

?? ? ?

?cos?π???cos??sin?π???sin?

?2 ? ?2 ?

? ? ? ?

?sin?cos??cos?sin?

(???)?sin(???)?sin?cos??cos?sin?(

(???)

然后用??替换上式中的?可得

(???)sin(???)?sin?cos??cos?sin?(

(???)

【小结】先α后β主角排前两角和与差的余弦公式：

cos??+??=cos???????????sin??????????cos?????=cos??????????+sin??????????

余弦：同名积，符号反

两角和与差的正弦公式：

s??????+??＝sin??????????+cos??????????s?????????＝sin???????????cos??????????

正弦：异名积，符号同

探究tan(???)

，tan(?-?)

你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan???，tan?-?的公式吗？（学生小组讨论合作）

通过推导，可以得到：

????????+??= ????????+????????

1????