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1第五节反常积分的审敛法及?函数二、无界函数反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法
2一、无穷限反常积分的审敛法定理1.若函数证:根据极限收敛准则知存在,
3定理2.(比较审敛原理)且对充,则证:不失一般性,因此单调递增有上界函数,
4说明:已知得下列比较审敛法.极限存在,
5定理3.(比较审敛法1)
6定理5.证:则而
7定义.设反常积分则称绝对收敛;则称条件收敛.例4.判断反常积分的收敛性.解:根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).
8无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.
9三、?函数1.定义下面证明这个特殊函数在内收敛.令
102.性质(1)递推公式证:(分部积分)注意到:
11(2)证:(3)余元公式:(证明略)
12(4)得应用中常见的积分这表明左端的积分可用?函数来计算.例如,
13内容小结1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.?函数的定义及性质.
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