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2\r\h\*\r1\h\*\r1\h\*高斯消元法以及

(高斯消元法及矩阵)

行阶梯阵及其秩

矩阵的一致性

齐次系统

系统为，如果有段有至少一个非零数字，即系统变成，此系统为.

如果的秩是，和基础列对应的是，其它的是

有个，有个

基础解是的线性组合

当且仅当其秩为n时有唯一解

非齐次系统

存在解的条件是的秩等于的秩，即不是的基础列；

存在唯一解的条件是其齐次形式只有0解，没有，秩等于未知数的个数

的表达式是齐次解加特殊解

线性矩阵的应用——基尔霍夫定律

基本的

，，，（共轭转置）

满足条件

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*1)

的系统为线性系统。在平面几何中，线性系统指直线，在高阶系统可表示为多个变量的线性组合

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*2)

两个矩阵的积（）代表了两个线性系统的，即两个矩阵的复合。

两个矩阵之间的关系

相似矩阵

对于矩阵当且仅当存在一个可逆方阵使得

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*3)

则称相似于，记为

性质：

秩相等、行列式相等、相等、相同的特征值，相同个数的特征多项式、相同的初等因子

等价矩阵

对于矩阵，当且仅当存在两个可逆方阵使得

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*4)

相似矩阵一定是等价矩阵，反之不成立。等价矩阵其实就是矩阵经过初等行变换和初等列变换得到的矩阵，两者具有相同的秩

合同矩阵

存在可逆矩阵使得

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*5)

四个特殊的向量空间

线性相关或线性独立（）

线性空间的基（）

张成这个空间所需的最小数目的线性不相关的向量

模、内积以及正交，，

欧几里得模

标准内积

数据之间的相关性

在一个实验结果中，两组记录的数据分别用

，

假设，在计算x和y的相关性之前，通常都应该讲数据标准化，即（标准偏差）。令

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*6)

其中和分别是x的均值和标准差。则，，其中

即y和x，那么，表示x和y之间只存在角度上的差异，因此可以用x向量和y向量之间的角度大小衡量x和y之间的差异，即相关性

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*7)

描述：

当时，表示x和y正交，

当时，表示x和y完全线性相关（）

正交集

傅里叶的内积形式

傅里叶级数可以正交集表示，其中正交集选择为

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*8)

正交化过程

正交集有很多优点，但是如果一个给的一个集合如果不是正交集，可以

基本正交投影

\*\h\*(\c\*\*1.\c\*\*9)

其中是单位向量，u是一个向量，是向垂直于u的平面作投影

如图所示，其中u是模为1的单位向量。x在u上的投影为，上的投影是

补空间

核零分解

正交投影

和分解

估计器（）

应该具备两个性质：。

特征值和特征向量

几何重数和代数重数

可对角化