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第7章线性空间与线性变换
主要内容：
线性空间的定义与性质
线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式
子空间的定义、判定，子空间的运算
线性变换的定义及运算
线性变换的矩阵
线性变换的特征值与特征向量
§7.6线性变换的特征值与特征向量
本节主要内容：
线性变换的特征值、特征向量的定义、
求法，以及线性变换的对角化为题
定义1设
是数域
上线性空间
中的线
性变换,如果存在数
和
中的非零向量
,使得
则称
，
为线性变换
的特征值,称
为
的属于特征值
的特征向量．
特征值与特征向量的性质：
（1）设
是线性变换
属于特征值
的特征向量，
则对任一非零数
也是属于特征值
的特征
向量;
，
属于特征值
（2）设
是线性变换
的特
征向量,则
是属于特征值
的特征
向量;
（3）属于特征值
的特征向量
的非零线性组合
也是属于特征值
的特征向量,且
是
的一个子空间．
称它为
的对应特征值
的特
征子空间．
定理1设
是
维线性空间
上的线性变换,
是
的一组基且
，
则（1）
是线性变换
的特征值的充分必要条件为
是
阶矩阵
的特征值;
（2）
是线性变换
的特征向量的充分必要条件是
在基
下的坐标向量是
的特征向量．
在
例1设线性变换
的一组基
阵为
下的矩
求
，
的特征值和对应的线性
无关的特征向量.
解因为矩阵
的特征多项式为
，
所以
的全部特征值为
，
.
求
所对应的线性无关的特征向量.
解齐次线性方程组
,得它的基础解系为
.
，
所以
的属于特征值
的线性无关的
特征向量是
,
.
求
所对应的线性无关的特征向量.
解齐次线性方程组
,得它的基础解系为
.所以
的属于特征值
特征向量是
的线性无关的
.
定理2设
是线性空间
的一个线性变换,则
存在
的一组基,使得
（1）充分必要条件是
可对角化的
有
个线性无关的特征向量;
（2）充分必要条件是
的每个
重特征值，对应的
线性无关的特征向量的个数恰是
个;
（3）充分条件是
有
个不同的特征值．
例1中线性变换
有
3个线性无关的特征向量,所以
可对角化.
若线性变换在某组基下的矩阵是对角阵，
可对角化.
则称
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