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第7章线性空间与线性变换
主要内容：
线性空间的定义与性质
线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式
子空间的定义、判定，子空间的运算
线性变换的定义及运算
线性变换的矩阵
线性变换的特征值与特征向量
§7.3子空间的定义及运算
本节主要内容：
一、子空间的定义及判定
二、生成子空间
三、子空间的交与和
定义1设
为数域
上的线性空间,
是
的一个非空子集.如果
关于
中定义的
加法和数乘运算也构成数域
上的线性空间,则称
是
的线性子空间,简称子空间.
定理1设
是数域
上的线性空间,
是
的一个
非空子集,则
是
的一个子空间的充分必要条件是
（1）若
,则
（2）若
则
;
,
.
例1判断下列子集是否构成
上的子空间:
(1)
,给定矩阵
(2)
解(1)显然
所以
是非空集合.
对任意
有
则
所以
对任意
有
所以
所以
是
的子空间.
（2）显然
所以
所以
是非空集合.
而
但
所以
不是
的子空间.
§7.3子空间的定义及运算
本节主要内容：
一、子空间的定义及判定
二、生成子空间
三、子空间的交与和
是由
设
是数域
上线性空间
中的
一组向量,设这组向量所有可能的线性组合
的集合为
.
则
是
的一个子空间,称
生成的子空间,记为
称为
的生成元.
极大无关组为
例2试求由向量组
，
，
生成的
子空间的基和维数.
解设
，
由于
，
故向量组
的秩为2
，
所以
.
的基为
，
.
§7.3子空间的定义及运算
本节主要内容：
一、子空间的定义及判定
二、生成子空间
三、子空间的交与和
定义2设
是线性空间
的两个子空间,
则
,
分别称为
与
的交与和．
定理2设
、
是
维线性空间
的两个子空间,
也是
的子空间;
（1）
（2）
也是
的子空间.
则
定理3设
是数域
上
维线性空间
的一
个
维子空间,
是
的一组基,
则
必可扩充为线性空间
的基.
也就是说,在线性空间
中必定可以找到
个向量
使得
,
是
的一组基.
定理4设
和
是数域
上线性空间
的两个子空间,则
.
例3设
其中
,
,
;
,
求子空间
和
的基与维数.
解因为
,并且
于是
由定理4知,
因为
又
所以
是
的一组基.
,
,
,
,
,
,
,
中每个元素
定义3设
和
是数域
上的线性空间
的两个子空间,如果
的分解式
是唯一的,则称
为直和,记为
.
定理5设
和
是数域
上的线性空间
的两个子空间,则以下结论等价：
（1）子空间
与
的和是直和;
（2）零向量的分解式是唯一的;
（3）
;
（4）设
的一组基为
,
基为
,
则
构成
的一组基;
（5）
的一组
.
例4设
是数域
上全体
阶方阵构
成的线性空间,
与
分别是
阶对称矩阵与
反对称矩阵的集合,证明
与
是
的子空间,
且
.
证由于
是
的非空子集.对
,有
所以
,
,
,
所以
.
,
.
由定理1知
是
的子空间.
同理可证
也是
的子空间.
对任意
其中
所以
进而
显然有
故
，
，
，
，
，
，
，
.
对任意
则
且
，
有
且
,所以
,得
由定理5有
.
.
，
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