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第7章线性空间与线性变换
主要内容：
线性空间的定义与性质
线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式
子空间的定义、判定，子空间的运算
线性变换的定义及运算
线性变换的矩阵
线性变换的特征值与特征向量
本节主要内容：
一、线性变换的定义及性质
二、线性变换的运算
§7.4线性变换的定义及运算
定义1设有两个非空集合
如果对于
中任一元素
按照一定的对应法则
在
中有唯一一个确定的元素
和它对应.那么,
称为从集合
到集合
的映射,
若
,则称
是
的一个变换．
这个对应法则
，
，
，
并记
定义2设
是数域
上的两个线性空间,
是
到
的一个映射.
如果
及
满足条件
（1）
（2）
；
，
则称
是
到
，
的一个线性映射.特别地当
时,则称
是线性变换.
由定义2可直接推出线性变换的简单性质：
（1）
，
；
（2）线性变换保持向量的线性关系,即
（3）线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组,即若线性空间中的向量组线性相关,则也线性相关.
定理1设
是
维线性空间
的一个有序
基,对
中的任意
个向量
一定存在唯一线
性变换
使
，
，
.
例设
是数域
上的线性空间,对任意向量
,
定义如下三个变换：
;
,
其中
是
中的零向量;
,
其中
是
中固定的数.
易证
都是
上的线性变换.分别称
为
上的恒等变换、零变换及数乘变换.恒等变换
一般记作
.
本节主要内容：
一、线性变换的定义及性质
二、线性变换的运算
§7.4线性变换的定义及运算
定义3设
是实数域
上线性空间
中的线性变换,
,规定
（1）
（2）
（3）
以上运算分别称为线性变换的加法、数乘与乘法．
可以证明
也是线性变换．
;
;
.
,
,
线性变换的加法、数乘满足以下运算规则：
（1）
（2）
（3）
;
;
;
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
;
;
;
;
;
;
;
.
综上,设
={实数域上线性空间的所有线性变换},
则对线性变换的加法和数乘构成一个线性空间．
定义4设
是
上的一个线性变换,若存在
上的另一变换
,使得
则称线性变换
为可逆的,
为
的逆变换.
.
显然,当
可逆时,它的逆变换
是唯一的,通
.
定理2设
是数域
上
维线性空间
上的一个
线性变换,称
为
的核;称
为
的像.
则
都是
的子空间,且
常记为
，
.
推论1
维线性空间
上的线性变换
是单射的充要条件是
是满射.
推论2
维线性空间
上的线性变换
可逆的充要条件是
是满射（或单射）.
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