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§8.12圆锥曲线中定点与定值问题第八章直线和圆、圆锥曲线
题型一定点问题例1(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),两点.(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足.证明:直线HN过定点.
当直线MN的斜率不存在时,lMN:x=1,
此时直线HN过定点(0,-2).当直线MN的斜率存在时,如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),
lMN:y=kx+m(由直线MN过点P(1,-2)可得k+m=-2).得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ0,过M且平行于x轴的直线的方程为y=y1,
y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)
∴直线HN过定点(0,-2).综上,直线HN过定点(0,-2).
思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时,若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
跟踪训练1(2023·郑州质检)已知椭圆C:=1(ab0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形,且面积为2,点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程;又a2-b2=c2,则a=2,
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?
由(1)知M(2,0),若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=t(-2t2),若直线l的斜率存在,不妨设直线l:y=k(x-t),A(x1,y1),B(x2,y2),
得(1+2k2)x2-4k2tx+2k2t2-4=0.易得(1+k2)x1x2-(2+k2t)(x1+x2)+4+k2t2=0,即(1+k2)(2k2t2-4)-(2+k2t)·4k2t+(4+k2t2)(1+2k2)=0,
整理得k2(3t2-8t+4)=0,因为k不恒为0,
题型二定值问题例2(2022·蚌埠模拟)已知双曲线C:=1(a0,b0)的虚轴长为4,直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线.(1)求双曲线C的标准方程;∵虚轴长为4,∴2b=4,即b=2,∵直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线,
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA的斜率为k1,直线NB的斜率为k2,求证:为定值.
由题意知,A(-1,0),B(1,0),由题可知,直线l的斜率不能为零,故可设直线l的方程为x=ny+2,设M(x1,y1),N(x2,y2),
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
跟踪训练2(2022·郑州模拟)已知点F(0,1),直线l:y=4,P为曲线C上的任意一点,且|PF|是P到l的距离的.(1)求曲线C的方程;即为曲线C的方程.
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点H,求证:为定值.
设线段MN的中点为T(x0,y0),
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