4.3 向量组的线性相关性.pptx

§4.2向量组的线性相关性本节主要内容向量组线性相关性的定义向量组线性相关性的性质及判定

一、向量组线性相关性的定义特别：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.定义1：例1：用定义判断线性相关性。(1)向量线性______关。(2)向量线性______关。相相.A,A0,,,,221121线性无关否则称向量组线性相关称向量组使如果存在不全为零实数给定向量组=+++mmmkkkkkkaaaLL

二、向量组线性相关性的性质及判定至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示向量组线性相关定理1：推论：向量组线性无关任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关定理2:推论：n维向量组线性无关

定理3向量组线性相关的秩小于向量个数m向量组线性无关(2)n维向量组线性相关定理2:推论：n维向量组线性无关

例2:试讨论向量组及向量组的线性相关性.解：设数使得成立。即未知量为系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关。向量对应分量不成比例，所以线性无关。

则向量组也线性相关。则，向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理4：若向量组线性无关，定理5：部分相关则整体相关整体无关则部分无关例3线性无关线性相关线性相关

定理6：n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关。定理7：n维向量组线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新向量组仍线性相关。例4线性无关线性无关线性相关线性相关

定理8：向量组线性无关,而向量组线性相关,一些结论(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2)包含零向量的任何向量组线性相关；(3)有两个向量相等的向量组线性相关；则向量必能由向量组A线性表示，且表示式唯一.

(4)mn时，m个n维向量必线性相关.特别：m=n+1(5)n个n维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零.

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