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广东省深圳高级中学（集团）中心校区2025届高三开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数是纯虚数，则实数（????）

A． B． C． D．

2．设等差数列的前项和，若，，则（????）

A．18 B．27 C．45 D．63

3．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（????）

（附：，，）

A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名

4．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（????）

A． B． C．3 D．7

5．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（????）

A． B．

C． D．

6．已知，则的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

7．将12名志愿者（含甲?乙?丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲?乙?丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（????）

A．3129 B．4284 C．18774 D．25704

8．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（????）

A． B． C． D．

9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（????）

A．的一个周期为 B．的最大值为

C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点

二、多选题

10．四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（????）

A．不存在点M，使得

B．的最小值为

C．四棱锥的外接球表面积为5π

D．点M到直线AB的距离的最小值为

11．冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（????）

A．序列是需要交换3次的序列 B．

C． D．

三、填空题

12．展开式中的系数为，则的值为．

13．设是一个随机试验中的两个事件，且，则.

14．已知函数，且在处的瞬时变化率为．

①；

②令，若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是．

四、解答题

15．记的内角的对边分别为，已知

(1)求；

(2)设的中点为，若，且，求的周长．

16．已知在多面体中，，，，，且平面平面.

??

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；

(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．

17．为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，

(1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响

（i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望

（ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好