新高考数学一轮复习 讲与练第3讲 均值不等式及其应用（原卷版）.doc

第3讲均值不等式及其应用

学校____________姓名____________班级____________

一、知识梳理

1.均值不等式

如果a，b都是正数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.数eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq\r(ab)称为a，b的几何平均值.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

考点和典型例题

1、利用均值不等式求最值

【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值是（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．5 D．9

【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足SKIPIF10，则SKIPIF10的最大值为（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．2

【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设SKIPIF10，SKIPIF10，若SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为（???????）

A．6 B．9 C．SKIPIF10 D．18

【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为__．

【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为______．

2、均值不等式的综合应用

【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知SKIPIF10分别为双曲线SKIPIF10的左?右焦点，SKIPIF10为双曲线右支上任一点，则SKIPIF10最小值为（???????）

A．19 B．23 C．25 D．85

【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对SKIPIF10x，SKIPIF10都有SKIPIF10成立，则实数a的最小值是（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件SKIPIF10，则SKIPIF10的最小值为（???????）

A．8 B．6 C．4 D．2

【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设SKIPIF10的内角SKIPIF10的对边分别为SKIPIF10，且满足SKIPIF10SKIPIF10，其中SKIPIF10，若SKIPIF10，则SKIPIF10面积的取值范围为______________.

【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，SKIPIF10