高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第12讲 余弦定理、正弦定理应用举例（解析版）.docx

第12讲6.4.3第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

课程标准

学习目标

①会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题。

②培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。

③理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式。

④.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用。

⑤掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用。

1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式；

2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键；

3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用；

知识点1：基线

在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.

知识点2：仰角与俯角

在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角

【即学即练1】（2023上·四川遂宁·高三统考期中）某数学兴趣小组到观音湖湿地公园测量临仙阁的高度.如图所示，记为临仙阁的高，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点.现测得.，m，在点处测得塔顶的仰角为30°，则临仙阁高大致为（）m（参考数据：）

A．31.41m B．51.65m C．61.25m D．74.14m

【答案】C

【详解】依题意，中，，

所以由正弦定理得，即，

解得，

在中，，即．

故选：C.

知识点3：方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.

【即学即练2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在点观测灯塔的方位角为110°，航行半小时后船到达点，观测灯塔的方位角是65°，则货轮到达点时，与灯塔的距离是多少.

??

【答案】（km）

【详解】由题设可得，（km），

而，故，

由正弦定理可得，故（km）.

知识点4：方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，

例：(1)北偏东：(2)南偏西：

知识点5：坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.

题型01测量距离问题

【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（????）

A．60米 B．130米 C．150米 D．300米

【答案】B

【详解】由题设，在中，

由余弦定理，

所以米.

故选：B.

【典例2】（2023上·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为海里．

??

【答案】

【详解】由于四点共圆，

所以，

由正弦定理可知，

在中，，

解之得，

显然不合题意.

故答案为：.

【典例3】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得，测得，，．

(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且，，求A，C两点间距离；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）在中，由正弦定理得，

即，

解得，所以，

则为等腰直角三角形，所以，

则．

在中，由余弦定理得

，

故．

故A，C两点间距离为．

（2）设，则由题意可知，，．

在中，由正弦定理得，即，

在中，由正弦定理得，即，

又，所以，

解得，所以．

【变式1】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为km.

【答案】

【详解】，，，，，

中，由正弦定理，有，则，

中，由余弦定理，

有，

得，即，两点间的距离为.

故答案为：.

【变式2】（2023上·全国·高三专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？

【答案】米

【详