2024年天津高考数学真题（含解析）.docx

2024年普通高等学校招生全国统一考试·数学试卷

（天津卷）

第Ⅰ卷（选择题）

参考公式：

·如果事件互斥，那么．

·如果事件相互独立，那么．

·球的体积公式，其中表示球的半径．

·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1集合，，则（）

A. B. C. D.

2.设，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列图中，线性相关性系数最大的是（）

A. B.

C D.

4.下列函数是偶函数是（）

A. B. C. D.

5.若，则的大小关系为（）

A. B. C. D.

6.若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若，，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则与相交

7.已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（）

A. B. C.0 D.

8.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

A. B. C. D.

9.一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10.已知是虚数单位，复数______．

11.在的展开式中，常数项为______．

12.圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______．

13.五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为______；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为______．

14.在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______．

15.若函数恰有一个零点，则的取值范围为______．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

16.在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求；

（2）求；

（3）求的值．

17.已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

（1）求证平面；

（2）求平面与平面的夹角余弦值；

（3）求点到平面的距离．

18.已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．

（1）求椭圆方程．

（2）过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

19.已知数列是公比大于0等比数列．其前项和为．若．

（1）求数列前项和；

（2）设，．

（ⅰ）当时，求证：；

（ⅱ）求．

20.设函数．

（1）求图象上点处的切线方程；

（2）若在时恒成立，求值；

（3）若，证明．

参考答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.【答案】B

【解析】因为集合，，所以，故选：B

2.【答案】C

【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.

故选：C.

3.【答案】A

【解析】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.

故选：A

4.【答案】B

【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；

对B，设，函数定义域为，

且，则为偶函数，故B正确；

对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；

对D，设，函数定义域为，因为，，

则，则不是偶函数，故D错误.

故选：B.

5.【答案】B

【解析】因为在上递增，且，

所以，所以，即，

因为在上递增，且，所以，即，

所以，故选：B

6.【答案】C

【解析】对于A，若，，则平行或异面或相交，故A错误.

对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误.

对于C，，过作平面，使得，

因为，故，而，故，故，故C正确.

对于D，若，则与相交或异面，故D错误.

故选：C.

7.【答案】A

【解析】，由得，

即，当时，，

画出图象，如下图，由图可知，在上递减，

所以，当时，

故选：A

8.【答案】C

【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设，

，由，求得，

因为，所以，求得，即，

，由正弦定理可得：，

则由得，

由得，

则，

由双曲线第一定义可得：，，

所以双曲线的方程为.

故选：C

9.【答案】C

【解析】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，

因为，且两两之间距离