新高考数学一轮复习 讲与练第11讲 导数与函数的极值、最值（解析版）.doc

第11讲导数与函数的极值、最值

学校____________姓名____________班级____________

一、知识梳理

1.函数的极值

一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.

(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)0，那么此时x0是f(x)的极大值点.

(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)0，那么此时x0是f(x)的极小值点.

(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.

(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在[a，b]上的最值

如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

考点和典型例题

1、利用导数求函数的极值

【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数SKIPIF10的定义域为开区间SKIPIF10，导函数SKIPIF10在SKIPIF10内的图像如图所示，则函数SKIPIF10在开区间SKIPIF10内有极小值点（???????）

A．SKIPIF10个 B．SKIPIF10个 C．SKIPIF10个 D．SKIPIF10个

【答案】A

【详解】

由导函数SKIPIF10在区间SKIPIF10内的图象可知，

函数SKIPIF10在SKIPIF10内的图象与SKIPIF10轴有四个公共点，

在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，

在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，

所以函数SKIPIF10在开区间SKIPIF10内的极小值点有SKIPIF10个，

故选：A.

【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数SKIPIF10，则SKIPIF10的极大值为（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】B

【详解】

函数SKIPIF10的定义域为SKIPIF10，

SKIPIF10,

令SKIPIF10，解得SKIPIF10或SKIPIF10，

故

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以SKIPIF10的极大值为SKIPIF10，

故选：B.

【典例1-3】（202