高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（解析版）.docxVIP

第04讲8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

课程标准

学习目标

①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。

②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。

1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力；

2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解；

3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用；

知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积

（1）正方体、长方体的表面积

正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和

长、宽、高分别为的长方体的表面积：

棱长为的正方体的表面积：

.

（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图

棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:

棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图

棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图

（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱的表面积：

棱锥的表面积：

棱台的表面积：

知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积

（1）棱柱的体积

①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.

②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.

（2）棱锥的体积

①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.

②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.

（3）棱台的体积

①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长

②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)

题型01棱柱的表面积

【典例1】（2024·全国·高一假期作业）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（????）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④

【答案】D

【详解】当该几何体为正四面体时，其表面积为．

当该几何体为正四棱锥时，其表面积为．

当该几何体为正三棱柱时，其表面积为．

当该几何体为正方体时，其表面积为．

故选：D．

【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是.

【答案】

【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，

设棱、、的中点分别为、、.

原三棱柱的全面积（）.

由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：

当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：

图①的全面积（），

图②的全面积（），

当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：

图③的全面积（），

图④的全面积（），

图⑤的全面积（），

图⑥的全面积（），

由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），

则（），解得：，

故a的取值范围是.

【典例3】（2023上·上海·高二专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144，求这个棱柱的侧面积（）.

【答案】112或72

【详解】设底面边长、侧棱长分别为，，

则，

解得或，

所以或.

【变式1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）在长方体中，.该长方体的表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，在长方体中，连接,

??

，

，

该长方体的表面积为.

故选：D.

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是.

【答案】

【详解】根据所给几何体，分别求得每层的侧面积，再加上下底面积，减去覆盖部分的面积，可知表面积为：

故答案为：.

【变式3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:

(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；

(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.

【答案】(1)2

(2)

【详解】（1）由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，

根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，

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