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布朗运动在股票定价中的应用

标准布朗运动

1900年,法国数学家Bachelier独立地介绍了布朗运动,他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品运动的模型。

布朗运动：价格集合，若对任意非负的实数，，随机变量独立于时刻及此前的所有价格，并且它是一个均值为，方差为的正态随机变量，则称价格集合为漂移参数为，方差参数为的布朗运动。

用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些缺陷，比如：

1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就可以取负值，但这与实际实不符的。

2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布。这个假设不太合理，比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同。

几何布朗运动

用表示时刻某证券的价格，若对任何非负实数，

（1）随机变量独立于时刻及此前的所有价格；

（2）是均值为，方差为的正态随机变量；

则称价格集合服从漂移参数为，波动参数为的几何布朗运动。

如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦，的值确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与历史价格无关。

涉及未来时刻以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关。

比如一种证券在一个月之后增长一倍的概率与该证券现在的价格是$10还是$20是没有关系的。

若随机变量为以为参数的对数正态分布的随机变量，则

。

若已知证券的价格为，时刻价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于我们有

。

用表示一个小的时间增量，并假定，在每个时间单位内，证券的价格或者以概率增长倍，或者以概率倍下跌倍，其中

，，

。

当取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的价格集就近似为一个几何布朗运动。

下证当取得越来越小时，上述简单过程趋近于几何布朗运动。

首先定义变量,若时的价格上涨，则令，否则令。

证券价格在前n次变化过程中上涨的次数为，下跌的次数为，所以在时刻的证券价格可以表示为：

。

将上述形式整理一下，

，

若令，则上述方程可以改写为

，

两边取对数，得：

。

既然

，

则随着趋于0，合式越来越接近正态随机变量，所以是一个正态随机变量并且，

。

现在求方差，由于

，

所以

，

这里和是来自市场实际数据变化率样本均值和样本方差。

第三步，解方程和，得到和，从而得到和的值。

我们根据实际的数据利用经典的分析法得出的值,然后模拟分数布朗运动，利用上述公式求出和的值；最后根据用蒙特卡洛模拟模拟出股票价格的变动。