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习题教学功能之拓展数学认识和题型见识

例题的主要功能是让学生通过解答问题来学习新的知识或技能。那么，例题能把小学数学中的知识与技能全部涵盖吗？答案是否定的。在小学数学中，例题教学的是最基础、最重要的知识与技能，还有基于例题的知识与技能而衍生出的相关的知识与技能，以及与此相关的一些题型，并没有被编设成例题，而是蕴含在习题中。由此，小学数学习题教学便承载了新的功能。

一、拓展学生对数学的认识

具体讨论习题教学在拓展学生对数学的认识这一功能之前，我们先来看一个案例。

案例1：异分母分数加减法

习题教学记：2019年5月27日，周一。

今天的数学课，我先反馈上一次作业的情况——学生在计算异分母分数加减法过程中出现的书写规范问题；在明确了格式上的规范性之后，再让学生以规范的格式写了两道习题，以加深印象，巩固技能；然后出示+这一异分母分数加减法的算式，要求学生观察后直接说出答案。在略作等待之后，一位学生站起来，犹犹豫豫地说出了。我板书答案后，让他解释是怎么想的。在确认学生的解释正确之后，我进行+的教学。

师：你们怎么越算越快了？（问题提出后，很多学生立刻举起了手）

生1：只要把分母乘一下，就是分母；分母加一下，就是分子。

师：把这个特点再观察、思考一下，为什么可以这样算呢？（学生静静地思考着，慢慢地，有学生举手了）

生2：因为这些分数的分母是互质数，所以分母就是它们的乘积，分子就是交叉相乘，这样加一下就可以了。

这位学生的解释显然是正确的，只是表述含糊不清。于是，我再请一位学生表达自己的想法。最后，我以+为例，结合板书，与学生一起再次理解其中的算理+=+==。

第一步：通分。原来分数的分母互质，分母相乘做分母；原来分数的分子都是1，分母成了通分后分数的分子。

第二步：相加。和的分母相当于原来分数的分母相乘，和的分子相当于原来分数的分母相加。

……

以人教版数学教材为例，在案例1涉及的五年级“分数加减法”这一教学内容中，教材一共编排了4道例题，分别是“同分母分数加减法”的例1、“异分母分数加减法”的例1以及“分数加减混合运算”的例1、例2。这4道例题都不涉及案例1中所发现的知识，与此相关的“发现”出现在“异分母分数加减法”教学之后的练习二十四第6题中（见图1）。

类似于上述将某一数学知识蕴含在习题教学中的情况，在小学数学教学中是非常常见的。如学习平行四边形、三角形的面积计算之后，教材会在后续的习题教学中引导学生发现“等底等高”的相关知识。由此可见，习题教学具有拓展学生数学认识的功能。这也正如波利亚所言：“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现。”因此，作为一名小学数学教师，要善于理解和挖掘习题的内涵，精心设计习题的教学过程，带领学生在解答习题的过程中去进一步发现，拓展学生的数学认知。

这个时候，我们自然会有这样一个疑问：“为什么这样的数学知识、技能不编排成例题呢？”原因是多方面的，以下两点可以作为对此问题的回答。

第一，突出例题的代表性，控制例题数量。

例题中承载的知识或技能，往往是某一知识或技能的源点。通过这个源点，可以衍生出很多支流。在从源点衍生出的这些支流中，一些基础的、重要的代表性支流中蕴含的知识或技能则可以再次编排成例题。如学习“乘法分配律”之后，应用乘法分配律进行简便计算，一般有7种典型题型（见表1）。

表1乘法分配律简便计算的典型题型分析表

对小学数学7个版本的教材进行统计分析后发现，没有一个版本的教材将表1中的7种典型题型都编排为例题（见表2）。一方面，通过表2可以发现，在乘法分配律的7种典型题型中，例题编排率最高的是“34×72+34×28”型，有6个版本的教材编排了；例题编排率位于第二的是“（80+4）×25”型，有5个版本的教材编排了；例题编排率位于第三的是“32×102”型，有3个版本的教材编排了。可见，这3种题型是具有代表性的。其中，“34×72+34×28”型和“（80+4）×25”型的代表性体现在其基础性上，即这2种题型是乘法分配律这个源点衍生出去的主干支流，因此编排为例题的必要性最高；而“32×102”型的代表性体现在其拓展性上，是具有代表性的一种典型题型，所以也有编排为例题的必要性。至于“107×34-7×34”型，虽然蕴含了乘法对减法的分配律这一新知识，具有拓展、完善学生对乘法分配律认识的功能，但因为这一知识只要基于乘法对加法的分配律的意义，就容易从“34×72+34×28”型中实现思维的正向迁移，因此不具有代表性，故7个版本的数学教材将这种题型均编排在习题中，而不编排为例题。至于“37×99+37”型和“99×49”型，同样只要在习题中将例题知识实现迁移即可。

另一方面，如果把这些支流都编排为例题的话，那么教材上的例题会有