新高考数学一轮复习 讲与练第4讲 函数及其性质（解析版）.doc

第4讲函数及其性质

学校____________姓名____________班级____________

一、知识梳理

基本概念

1.函数的概念

概念

一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A

三要素对应关系

y＝f(x)，x∈A

定义域

自变量取值的范围

值域

所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

单调性与最值

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D

如果对任意x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数

如果对任意x1，x2∈I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数

图像

描述

自左向右看图像是上升的

自左向右看图像是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.

奇偶性、周期性

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图像特点

偶函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

考点和典型例题

1、函数的概念

【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知SKIPIF10是定义在R上的奇函数，且SKIPIF10时，SKIPIF10，则SKIPIF10（???????）

A．27 B．－27 C．54 D．－54

【答案】A

【详解】

由已知可得SKIPIF10，SKIPIF10，因此，SKIPIF10．

故选:A．

【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数SKIPIF10则SKIPIF10（???????）

A．10 B．9 C．12 D．11．

【答案】A

【详解】

当SKIPIF10时，SKIPIF10，

所以SKIPIF10．

故选：A.

【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数SKIPIF10的定义域是_______．

【答案】SKIPIF10

【详解】

由题意可得，SKIPIF10，解之得SKIPIF10

则函数SKIPIF10的定义域是SKIPIF10

故答案为：SKIPIF10

【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知SKIPIF10，则SKIPIF10___________.

【答