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第七讲发现规律

一、【问题引入与归纳】

我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法那么的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。

能力训练点：观察、分析、猜测、归纳、抽象、验证的思维能力。

二、【典型例题解析】

1、观察算式：

按规律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+？

2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？

3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖〔如下图〕的规律，拼成假设干个图案：〔1〕第3个图案中有白色地面砖多少块？〔2〕第个图案中有白色地面砖多少块？

4、观察以下一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？

5、观察右图，答复以下问题：

〔1〕图中的点被线段隔开分成四层，那么第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？

〔2〕如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？

〔3〕某一层上有77个点，这是第几层？

〔4〕第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？

6、读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比拟长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”〔即从1开始的100以内的连续奇数的和〕可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答以下问题：

〔1〕2+4+6+8+10+…+100〔即从2开始的100以内的连续偶数的和〕用求和符号可表示为；

〔2〕计算：=〔填写最后的计算结果〕。

7、观察以下各式，你会发现什么规律？

3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……

11×13=143，而143=122-1……

将你猜测的规律用只含一个字母的式子表示出来。

8、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。

三、【跟踪训练题】

1、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…那么第个数=，当=2001时，=。

2、将正偶数按下表排成5列

第1列

第2列

第3列

第4列

第5列

第一行

2

4

6

8

第二行

16

14

12

10

第三行

18

20

22

24

……

……

28

26

根据上面的规律，那么2006应在行列。

3、一个数列2，5，9，14，20，，35…那么的值应为：〔〕

4、在以下两个数串中：

1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有〔〕个。

A.333B.334C

5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人〔如右图所示〕按照这种规定填写下表的空格：

拼成一行的桌子数

1

2

3

…

n

人数

4

6

…

6、给出以下算式：

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：

7、通过计算探索规律：

152=225可写成100×1×〔1+1〕+25

252=625可写成100×2×〔2+1〕+25

352=1225可写成100×3×〔3+1〕+25

452=2025可写成100×4×〔4+1〕+25

…………

752=5625可写成

归纳、猜测得：〔10n+5〕2=

根据猜测计算：19952=

8、，计算：112+122+132+…+192=；

9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？