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3.4定积分与微积分基本定理

-2-考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.

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-4-2.定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分).图①图②

-5-(2)一般情况下,定积分的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质

-6-4.微积分基本定理一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F(x)=f(x),那么这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.

-7-23415√√√×√

-8-234152.定积分的值为()A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1答案解析解析关闭答案解析关闭

-9-234153.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()答案解析解析关闭答案解析关闭

-10-234154.(2015湖南,理11)=.?答案解析解析关闭答案解析关闭

-11-234155.(教材习题改编P60T6)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)为m.?答案解析解析关闭答案解析关闭

-12-23415自测点评1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”,其方法是“分割求近似,求和取极限”.定积分只与积分区间和被积函数有关,与积分变量无关.2.由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.3.重视定积分性质在求值中的应用.区分定积分与曲边梯形面积间的关系,定积分可正、可负,也可以为0,是曲边梯形面积的代数和;而曲边梯形面积非负.

-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1定积分的计算?例1计算下列定积分:答案答案关闭

-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:计算定积分有哪些步骤?解题心得:计算定积分的解题的步骤:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.

-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭

-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭

-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭

-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2利用定积分求平面图形的面积?例2(1)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()答案解析解析关闭答案解析关闭

-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案解析解析关闭答案解析关闭

思考:用定积分求平面图形的面积的步骤有哪些?解题心得:利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出交点坐标,并确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混

-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2(1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()?答案解析解析关闭答案解析关闭

-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混答案解析解析关闭答案解析关闭

-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3定积分在物理中的应用?例3(1)从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为()答案解析解析关闭答案解析关闭

-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)(2015杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已