线性代数讲稿.doc

第一章Gauss消元法与矩阵的初等变换

教学目的与要求：

1.掌握Gauss消元法解线性方程组的根本思想，会用矩阵的初等变换解线性方程组；

2.掌握线性方程组有解的判定方法；

3.掌握矩阵的秩的概念及会求矩阵的秩；

4.掌握矩阵的标准形的概念。

重点：线性方程组有解的判定定理；矩阵的初等行变换

难点：矩阵的初等变换解线性方程组。

问题1.1(解的存在性和惟一性问题)“Leontief〔列昂捷夫〕静态投入产出模型”中的线性方程组是否有解？如果有解，解是否惟一？

问题1.2对于有解的线性方程组，怎样求得其全部解或解的表达式？

§1.1线性方程组与Gauss消元法

1.1.1线性方程组

引例:〔i〕空间中三个平面是否有交点？〔ii〕如果有交点，有多少个交点？

分析:解决此问题的关键是求解线性方程组的解.(1.1.1)

定义1.1.1:一般地，设n个变量之间满足如下形式的线性关系

〔1.1.2〕

那么称〔1.1.2〕为含有n个未知量m个方程的线性方程组〔LinearSystems〕，简称为型线性方程组〔或n元线性方程组〕，其中代表〔1.1.2〕中出现的n个未知量,称为方程组的系数，b1，……bm称为常数项.

方程组的解：满足n元线性方程组〔1.1.2〕的一个有序实数组〔〕.

方程组的解集：方程组〔1.1.2〕的所有解构成的集合.

“翻译”成如下代数问题〔参见引言中的问题1.1〕：

问题1.1.2〔i〕方程组〔1.1.1〕是否有解？〔ii〕如果有解，有多少个解？

注意:如果两个m×n线性方程组的系数和常数项对应相等，那么这两个方程组是相同的.例如〔1.1.1〕与以下方程组是相同的：〔1.1.3〕

1.1.2Gauss消元法

例1判断线性方程组是否有解

〔1〕；〔2〕；〔3〕.

解〔1〕方程组有解，且只有一个解：；

〔2〕显然，假设令为任意实数，那么方程组的解为：

.

所以该方程组有解，且有无穷多个解．

〔3〕该方程组无解，因为对任意来说，“0·x3=4”都是不可能成立的.也称这样的方程组为“不相容的”.

总结:线性方程组的解的情况:①无解②有唯一解③有无数多个解

一般的线性方程组可能不具有“阶梯形”，但我们可以使用Gauss消元法把它化成阶梯形.其思路是：用“初等变换”对方程组进行同解变形.

例1化简以下线性方程组并判断其是否有解：

解作如下变形：

先把第一个与第三个方程互换位置，方程组化为

〔1.1.4〕

将〔1.1.4〕中第二个方程减去第一个方程，第三个方程减去第一个方程的11倍，这样后两个方程中的都被消去，〔1.1.4〕化为

〔1.1.5〕

将〔1.1.5〕中第三个方程减去第二个方程的三倍得49=294，然后将该方程乘以，〔1.1.5〕化成“阶梯形”方程组

〔1.1.6〕

〔1.1.6〕只有一个解：,又由于〔1.1.6〕、〔1.1.5〕、〔1.1.4〕、〔1.1.1〕均为同解的方程组，故〔1.1.1〕有解且只有一个解，即〔4，7，6〕.

定义1.1.2:线性方程组的初等变换(elementaryoperations)：

I、互换两个方程的位置；

II、用一个非零数乘某个方程；

III、把第j个方程乘以一个〔非零〕数再加到第i个方程上.

定理1.1.1施行初等变换不会改变线性方程组的解.即：假设一个m×n线性方程组经过某一个初等变换后变为另一个方程组，那么这两个方程组同解.

线性方程组的增广矩阵(augmentedmetrix)：线性方程组的系数和常数项取出来按原次序排列起来，就确定了一个长方形的表.

例如本例中方程组的增广矩阵为：

利用线性方程组的增广矩阵可以把本例中的消元化简过程描述如下：

以最后一个表为增广矩阵的方程组就是“阶梯形”方程组〔1.1.6〕.

例3化简线性方程组〔1.1.7〕并判断其是否有解.

〔1.1.7〕

解我们利用线性方程组〔1.1.7〕的增广矩阵来描述消元化简过程：

以最后一个表为增广矩阵的方程组就是“阶梯形”方程组

〔1.1.8〕

显然方程组〔1.1.8〕无解，因而〔1.1.7〕无解.

从例1.1.1～例1.1.3中我们看到，有的线性方程组无解，有的有惟一解，有的有无穷多个解.自然要问：是否还有其它的情况出现？一个线性方程组在什么条件下一定有解？在什么条件下有惟一解？

§1.2矩阵的初等行变换与矩阵的秩

1.2.1矩阵及其初等行变换

线性方程组的系数矩阵(coefficientma