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2024九省联考抛物线解答题
一、解答题
1．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)证明：直线过定点；
(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
答案第=page11页，共=sectionpages22页
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参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设出直线与直线的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线后即可得定点坐标；
（2）设出直线与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，再结合面积公式及基本不等式即可得.我们也可以利用面积得到，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】（1）【方法一】：由，故F1,0，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
Ax1,y1、B
联立与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
【方法二】：设Ax1,y1
设，则．由，得，
故，，，．
所以．
同理可得．
若，则直线，MN过点．
若，则直线，MN过点．
综上，直线MN过定点．
（2）法1：由Ax1,y1、B
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
法2：设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．
由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故．
设T为直线GN与AD的交点，同理可得．
所以．??????????
由（1）中的法2可得，同理可得．
所以，
当且仅当时等号成立．
因此的面积的最小值为8．
【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
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