第二章随机变量及其分布课件.ppt

第二章

随机变量及其分布;内容提要;随机变量

设E是随机试验，Ω是样本空间.若对每个样本点ω∈Ω,都有一个确定的数X(ω)与之对应，则称Ω上的实值函数X(ω)为随机变量（randomvector,r.v.）;DepartmentofMathematics,TianjinUniversity;注：分布函数是定义在R上的一个实函数.;;DepartmentofMathematics,TianjinUniversity;第一章

随机事件与概率;内容提要;离散型随机变量:

只能取有限个或可列个值的随机变量称为离散型随机变量.;;概率分布律的性质：

（1）pk≥0k=1,2,….

（2）p1+p2+…+pk+…=1.;例1.对目标进行射击，知道击中为止，设每次的命中率为p.求射击次数X的分布律，并求P(X≤2).;;;例2.加工一件产品为一级品的概率为0.2.现加工20个，求

（1）这20个产品中一级品的分布律；

（2）这20个产品中有5个一级品的概率.;;例4.某电话交换台每分钟接到的电话呼唤次数服从参数为4的泊松分布.求

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；

（2）每分钟呼唤次数大于10次的概率.;例5.汽车站每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时间内出事故的概率为0.0001，在该天的该段时间内有1000辆车通过，问出事故的次数不小于2次的概率是多少?;;;第二章

随机变量及其分布;内容提要;定义：设随机变量的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),使得对任意的x∈R,都有

则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数.;注：由高等数学知识可知：连续型随机变量的分布函数一定是处处连续的，

且在f(x)的连续点处，有;具有以上二性质的任一函数f(x)必是某连续型随机变量的密度函数.;(3)对任意的实数a,b（ab）,有

P(aX≤b)=F(b)-F(a)=;例1:在区间[0，a]上任意投一点，以X表示该点的坐标，设该点落在[0,a]内任意小区间的概率与该小区间的长度成正比.求X的分布函数.;均匀分布

若随机变量X的概率密度函数为

则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记为X～U[a,b].

;例2:设K在[0，5]上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.;指数分布

设随机变量X的概率密度为

则称X服从参数为λ的指数分布,记为

X～EXP(λ).

;例3:某动物的寿命X服从参数为0.01的指数???布.求

(1)该动物寿命在50-150岁的概率；

(2)该动物的寿命不少于100岁的概率；

(3)已知该动物现100岁，求它的寿命不少于200岁的概率.;正态分布

设随机变量X的概率密度为

其中μ，σ0为常数.则称X服从参数为μ,σ2的正态分布,记为X～N(μ,σ2).

;(1)f(x)的图形及特性：

(2)F(x)的表达式：

(3)μ,σ对图形的影响：

(4)x=μ时，F(μ)=1/2.

(5)f(x)关于μ对称，F(μ-x)=F(μ+x).

(6)令μ=0,σ2=1时，称X服从标准正态分布，即X～N(0,1).此时记

;(7)对任意的X～N(μ,σ2),做变换

Y=(X-μ)/σ,则Y～N(0,1).

;例2.(3σ原则)设随机变量X～N(μ,σ2),

(1)求P(μ-σXμ+σ);

(2)求P(μ-2σXμ+2σ);

(3)求P(μ-3σXμ+3σ);;第二章

随机变量及其分布;内容提要;例1.设随机变量的分布律为

;例3.设X的概率密度函数为fX(x),求Y=kX+b(k0)的概率密度函数.

;例4.设X～N(μ,σ2),求Y=kX+b（k≠0）的概率密度函数.

（1）写出Y的分布；

（2）当k=1/σ,b=-μ/σ时，Y的分布.

;定理1.设连续型随机变量X具有概率密度函数f(x)，若y=g(x)是严格单调且可导的函数，则Y=g(X)是一个连续型的随机变量，其概率密度函数为

;例5.设随机变量X～U(0,1),求Y=-2lnX的概率密度.;定理2.设连续型随机变量X具有概率密度函数f(x)，y=g(x)在不相交的区间(ai,bi)(i=1,2)上分别严格单调且可导，其反函数分别为h1(y),h2(y),且具有连续导函数.那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为

;例6.设随机变量X～N(0,1),求Y=X2的概率密度.;例8.设随机变量X的概率密度函数满足

1x8时，f(x)=x-2/3/3；否则，f(x)=0.F(x)为其分布