5.3一元一次方程的应用 培优训练2024-2025学年北师大版七年级数学上册.docxVIP

5.3一元一次方程的应用

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一元一次方程的应用

会用一元一次方程解决简单的实际问题

二、核心纲要

1.设未知数的三种方法

(1)直接设未知数

直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况.

(2)间接设未知数

设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对所求的量起中介作用.

(3)引入辅助未知数

设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程.辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去.

2.列方程解应用题的步骤

(1)审：分析问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现.

(2)找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系.

(3)设：设未知数，一般求什么，就设什么为x，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来.有时直接设不容易的话，可采用间接设.

(4)列：根据这个相等关系列出方程.

(5)解：解所列出的方程，求出未知数的值.

(6)验：检验所求得的解是否是原方程的解及是否符合题意与实际意义.

(7)答：写出答案(包括单位名称).

3.一元一次方程应用常见的分类

(1)和、差、倍、分问题

①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

③两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增(或减)数；

(2)行程问题

行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度.关系式为：①路程=速度×时间；②速度=圆锥侧

可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系.

航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：

①顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速)；

②逆水(风)速度=静水(无风)速度-水流速度(风速).

(3)工程问题

工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间.

关系式为：①工作量=工作效率×工作时间.

②工作时间=工作量量

③工作效率=工作量箱.

总工作量看做整体1.

(4)市场经济、打折销售问题

①商品利润=商品售价-商品成本价

②商品利润率=商品利润存×100%

③商品销售额=商品销售价×商品销售量

④商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量

⑤商品打几折出售，就是按原价的十分之几出售，如商品打8折出售，即按原价的810

(5)存贷问题

存贷问题中的基本量：本金、利息、利息税.

其关系式有：①利息=本金×利率×期数；

②利息税=利息×税率；

③本息和(本利)=本金+利息-利息税.

(6)数字问题

①要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

②数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n、2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.

(7)浓度问题

浓度问题有四个基本量：溶质、溶剂、溶液、浓度.其关系式为：①溶液=溶质+溶剂

②浓度=

混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是解决浓度问题的主要等量关系.

虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题，例如还有面积问题、比例问题、配套问题、时钟问题、年龄问题、方案策略问题……因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解.

本节重点讲解：一个方法(设未知数方法)、一个步骤、一个应用.

三、全能突破

基础演练

1.“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位.则下列方程正确的是()

A.30x-8=31x+26B.30x+8=31x+26

C.30x-8=31x-26D.30x+8=31x-26

2.甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7：6，甲用掉50元，乙用掉60元，则二人余下的钱数比为3：2，求二人余下的钱分别是()

A.140元、120元B.60元、40元C.80元、80元D.90元、60元