串讲05 统计（考点串讲） (解析版).docx

串讲05统计

一、知识网络及常考题型

二、知识梳理

知识点一：集中趋势与离散程度

1．众数、中位数和平均数的定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．

(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．

(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．

2.方差、标准差的定义

一组数据x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示这组数据的平均数，

则这组数据的方差为＝（－），

标准差为.

3.总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝eq\f(1,N)

为总体方差，S＝eq\r(S2)为总体标准差．

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\f(1,N).

4.样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，

则称

为样本方差，s＝eq\r(s2)为样本标准差．

5.方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

知识点二：一元线性回归

1一元线性回归模型

用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2

Y=bx+a+e

我们称它为Y关于x的一元线性回归模型.

2线性回归方程

对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为x1,y1,x2,y

b

我们将y=bx+a称为Y

备注线性回归直线经过定点(x

3残差分析

通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析.

通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为0，方差为σ2的随机变量的观测值

4比较模型的拟合效果

(i)残差平方和

残差平方和Q=i=1n

(ii)相关指数R

R

R2越大，残差平方和i=1n

四、常考题型探究

考点一集中趋势与离散程度

1．下列说法错误的是()

A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数

B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数

C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据

D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

【答案】A

【解析】用样本估计总体情况时，在一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一个数，

例如：数据10,11,11,11,11,11,12的众数、中位数和平均数都是11，故选：A.

2．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为()

A．14,14B．12,14C．14,15.5 D．12,15.5

【答案】A

【解析】把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.，故选：A.

3．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()

A．a＞b＞c B．a＞c＞b

C．c＞a＞b D．c＞b＞a

【答案】D

【解析】由题意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a，故选：D.

4．我校在科技文化节活动中，8位评委给某个节目的评分各不相同，去掉1个最高分和1个最低分，剩下的6个评分与原始的8个评分相比一定不发生变化的是（）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数

【答案】B

【解答】根据题意，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分．6个有效评分与8个原始评分相比，中位数一定不发生变化，故选：B．

5．在一次科技作品制作比赛中，某小组六件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，对这组数据，下列说法正确的是（）

A．平均数是8 B．中位数8.5 C．众数是8 D．极差是4

【答案】B

【