2024–2025学年初升高数学衔接及预备知识（全国）专题06 等式性质与不等式性质（解析版）.docx

专题06预备知识六：等式性质与不等式性质

1、掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．

2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．

知识点一：不等式的概念

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.

自然语言

大于

小于

大于或等于

小于或等于

至多

至少

不少于

不多于

符号语言

知识点二：实数大小的比较

1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.

2、作差法比大小：①；②；③

3、不等式性质

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

知识点三：不等式的探究

一般地，，有，当且仅当时，等号成立.

知识点四：不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意c的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

a，b同为正数

对点特训一：比较两个代数式的大小

角度1：由不等式比较数（式）的大小

典型例题

例题1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用不等式的基本性质可得出、、的大小关系.

【详解】因为，由不等式的基本性质可得，，故.

故选：C.

例题2．（多选）（23-24高一下·湖南长沙·期中）如果，那么下面结论一定成立的是（????）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由不等式的性质即可判断ABC，举反例即可判断D.

【详解】因为，所以，，，故ABC正确，

取，则，故D错误.

故选；ABC.

例题3．（多选）（23-24高一上·广东·期末）下列命题是真命题的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BCD

【分析】综合运用不等式的性质和作差法即可做出判断.

【详解】对于选项A，当时，不等式显然不成立，A错误；

对于选项B，由糖水不等式可得B正确；

对于选项C，因为，所以，则，C正确；

对于选项D，因为，所以，所以，D正确.

故选：BCD.

精练

1．（2024高二下·山东）已知，则下列大小关系正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质可解.

【详解】由，可得，

又因为，所以.

故选：B

2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解.

【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；

对于B，取，，则，故B错误；

对于C，取，则，故C错误；

对于D，取，，则，故D错误.

故选：A.

3．（多选）（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，且，则下列不等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.

【详解】对于A，取，满足，取，有，A错误；

对于B，由，得，而，因此，B正确；

对于C，取，，C错误；

对于D，由，得，因此，D正确.

故选：BD

角度2：利用作差法比较大小

典型例题

例题1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，则、的大小关系是（????）

A． B． C． D．不能确定

【答案】C

【分析】由作差法比较大小.

【详解】已知.则，

所以，

，因此，.

故选:C.

例题2．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（????）

A． B．

C． D．无法确定

【答案】C

【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可．

【详解】由题意可得，，，，

，，

，

．

故选：C．

例题3．（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（?????）

A． B．

C． D．无法确定

【答案】A

【分析】利用作差法分析判断.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

精练

1．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论.

【详解】由于，则成立，等价于成立，

充分性：若，